El muchacho de la superficie, la visualización de la preimagen de auto-intersección locus como la gráfica en el plano proyectivo

Question

Para la inmersión del plano proyectivo en $\mathbb{R}^3$ con un triple punto, lo que hace que la preimagen de la auto-interacción locus de forma gráfica en un plano proyectivo?

Answer 1

Así que, yo no estoy haciendo esto de forma muy rigurosa, pero aquí está.

Este es el Muchacho de la superficie, y desde este ángulo, podemos ver los 3 ejes de simetría que está presente en ella.

Vemos que el punto triple, justo en el centro. Ya que es un solo punto de la inmersión, debe ser de 3 puntos en la preimagen, y podemos esto de que esto ocurra cuando nos movemos los tres hojas que cubren cada uno con una copia del punto. Ahora, que el punto triple es un poco de sentido, vamos a pasar a la auto-intersecciones de grado 2. La línea azul se conecta el original punto rojo a sí mismo. Pero hay 3 hojas y cada hoja tiene un solo grado 2, intersección con los otros dos, así que debemos tener seis en los bordes de la preimagen. (Yo soy sólo el dibujo de uno de los bordes aquí.)

Si hacemos lo mismo tirar en diferentes hojas de truco que hizo por los puntos, vemos que uno de los bordes connectes el punto rojo a sí mismo. Y tirando en la dirección opuesta, tenemos las líneas azules conecta los otros dos colores juntos.

Y puesto que hay 3 ejes de simetría, esto es lo que debe tener para cada uno de los tres puntos.

Así, debemos obtener este gráfico, cuando vamos a hacer un agujero en la superficie de este y retrotraerse a la identificación de "la plaza". Cada borde es de color para que coincida con las cuales se identifican en la imersion.

Espero que esto ayude.