La dispersión de los estados del átomo de Hidrógeno en la no-relativista teoría de la perturbación

Question

En hacer de segundo orden en tiempo independiente de la teoría de la perturbación en mecánica cuántica no relativista uno tiene que calcular la coincidencia entre los estados

$$E^{(2)}_n ~=~ \sum_{m \neq n}\frac{|\langle m | H' | n \rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}$$

(donde $E^{(k)}_n$ representa el k-ésimo orden de corrección para el n-ésimo nivel de energía).

Para el Hydrogenic átomo el espectro del Hamiltoniano se compone de un conjunto discreto correspondiente a "enlazados a los estados" (la energía negativa de los estados) y una serie de "dispersión de los estados" (la energía positiva de los estados).

Hay un ejemplo en el que se superponen entre un estado asociado y la dispersión de los estados hace una contribución significativa a la energía en el perturbativa de régimen? Debe a la dispersión de los estados incluidos en el perturbativa de cálculos? Existen resultados experimentales que apoya esto? (Por ejemplo, tal vez el electrón-electrón interacción altamente estados excitados de Helio).

Como un aparte, lo que "es" el espacio de Hilbert del átomo de Hidrógeno en la posición de la representación? Muchas veces he leído de la base de autoestados del átomo de Hidrógeno de Hamilton no está completa sin la dispersión de los estados, pero yo no he visto ningún argumento convincente de este. He leído que la radial enlazados a los estados son densos en $L^2((0, \infty))$ (por ejemplo aquí), por lo que incluyendo la dispersión de los estados en el espacio de Hilbert estrictamente debe contener esto.

Answer 1

La dispersión de los estados deben ser incluidos en el perturbativa de los cálculos si el resultado tiene que ser muy precisa. En particular, no se justifica ignorar el espectro continuo a energías cercanas a la de la disociación del umbral.

El espacio de Hilbert en la posición de la representación es el espacio de cuadrado integrable funciones en $R^3\setminus\{0\}$ con respecto al producto interior $$\langle\phi|\psi\rangle:=\int \frac{dx}{|x|}\phi(x)^*\psi(x).$$ El enlazados a los estados por sí solos no son densos en este espacio.

Completa de los tratamientos del espectro del hidrógeno ver los libros
G R. Gilmore, Mentira Grupos, Álgebras de Lie Y Algunas de Sus Aplicaciones, Wiley 1974, Dover, 2002. p 427-430
y
A. O. Barut y R. Raczka, La teoría de grupo de representaciones y aplicaciones, 2ª. ed., Varsovia 1980. Capítulo 12.2.

Answer 2

Su principal pregunta fue "¿hay un ejemplo en el que se superponen entre un estado asociado y la dispersión de los estados hace una contribución significativa a la energía en el perturbativa de régimen?"

En realidad, no estoy de acuerdo con la declaración de la otra respuesta que la dispersión de los estados deben ser incluidos en el perturbativa de los cálculos sólo si el resultado tiene que ser muy precisa. De hecho, como para el átomo de hidrógeno, si se toma, como un ejemplo simple, el perturbativa potencial de $\epsilon/r$, de la continuidad de segundo orden que representa DOS TERCIOS del total de la contribución! Si usted toma $\epsilon/r^2$, es hasta un 75%!

Para otros ejemplos, véase los siguientes artículos:

1. Aquí usted puede ver que "la continuidad de la contribución a la suma es a veces bastante grandes, de contabilidad, en casos extremos, para todos, pero unos pocos por ciento del total".

2. Para un ejemplo de libro de texto, usted puede tener una mirada en Schiff (p.263-265), donde el Marcado efecto del átomo de hidrógeno se trabajó con el continuum de la contribución.

Si usted está interesado, me puede proporcionar más material.