Escribo $\zeta(s)$ para $\Re(s)>1$ como:
$\zeta(s) = \prod_{p} (1-p^{-s})^{-1}$
Usando esto puedo demostrar que la función zeta de Riemann no tiene ningún cero para $\Re(s)>1$ . Sin embargo, no estoy seguro del siguiente paso. Me gustaría utilizar la propiedad del producto cero, pero sé que no es necesaria para productos infinitos. ¿Cómo puedo manejar esta situación?
La siguiente proposición se encuentra en 'Complex Analysis' de Stein y Shakarchi (Pg. 141): Si $\sum_n |a_n|$ converge entonces el producto
$$ \prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n) $$
converge y en este caso el producto converge a 0 si y sólo si uno de los factores es 0. En este caso tenemos \begin{align*} (1-p^{-s})^{-1}&=\left(\frac{p^s-1}{p^s}\right)^{-1} \\ &=\frac{p^s}{p^s-1} \\ &=1+\frac{1}{p^s-1} \end{align*} así que aplica la proposición para $a_n=(p^s-1)^{-1}$ para ver que el producto converge para Re $(s)>1$ . Entonces sabemos $(1-p^{-s})^{-1}\neq 0$ para todos los primos $p$ y así utilizando la identidad y la segunda afirmación de la proposición $\zeta(s)\neq 0$ para todos $s\in\mathbb{C}$ con Re $(s)>1$ .
Todo esto está relacionado con la definición de la palabra "converge", que para productos infinitos hace no significa necesariamente la convergencia de los productos parciales. Véase mi comentario a la respuesta de Markus Schepke, donde un producto infinito de factores no nulos converge (en el sentido más elemental de convergencia de productos parciales) a $0$ .
Ah, eso fue un poco confuso de mi parte, yo expuse toda la proposición sin embargo la parte que quería enfatizar y la única parte que realmente usé fue el hecho de que si el producto infinito converge (que sabemos que lo hace para Re $(s)>1$ ) entonces es 0 si y sólo si uno de sus factores lo es.
Sí se cumple (para productos absolutamente convergentes, véase más adelante): al igual que los términos de una suma tienen que tender necesariamente a 0 para que la suma converja, los términos de un producto tienen que tender a 1 para que converja. Por tanto, se encontrarían ceros en los factores "finitos" del producto.
Editar : Como se ha señalado en los comentarios, hay que tener un poco de cuidado con los productos infinitos. Sin embargo, la afirmación es cierta si se considera absolutamente productos convergentes, que es todo lo que necesitamos para $\zeta(s)$ .
La cuestión no es tan clara como usted sugiere. La función $1/\zeta(s)$ tiene la representación del producto infinito $\prod_{p} (1-1/p^s)$ para ${\rm Re}(s) \geq 1$ , incluyendo en $s = 1$ donde la función desaparece pero ningún factor del producto desaparece.
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Tomar el logaritmo (rama principal del logaritmo para cada factor). Ver que la serie de logaritmos converge a un número complejo.
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Quieres utilizar el teorema de Hurwitz en el análisis complejo: si un producto infinito de funciones holomorfas que no desaparecen en ninguna parte en una región del plano es uniformemente convergente en subconjuntos compactos, entonces la función del producto no desaparece en ninguna parte en esa región o es idénticamente cero. Por lo tanto, la positividad del producto de Euler para el $s>1$ o incluso sólo en $s=2$ , muestra $\zeta(s)$ no se desvanece en ninguna parte ${\rm Re}(s) > 1$ si justificas el uso del teorema de Hurwitz.
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Es un mal generalizado en las discusiones sobre la función zeta decir que es no evanescente en ${\rm Re}(s) > 1$ "porque" cada factor de Euler no es cero en ninguna parte de ese semiplano. Aunque esto se puede hacer riguroso aportando el teorema de Hurwitz, con demasiada frecuencia ese teorema no se menciona y conduce a la idea errónea (aunque intuitivamente atractiva) de que la no evanescencia de los factores por sí sola es todo lo que se necesita, pero eso no es cierto. Creo que la explicación más sencilla es escribir $\zeta(s)$ como exponencial de una función holomorfa en esa región, y luego usar $e^z \not= 0$ para todos $z$ .