Partición de la superficie en la unión de los segmentos abiertos

Question

Un subconjunto de a ${\mathbb R}^2$ es abierto en la topología usual iff es una (no necesariamente disjuntos), unión de abrir los discos. Es bien sabido que el avión está conectado, por lo que no es trivial partición de ${\mathbb R}^2$ en bloques abiertos.

Ahora dicen que un subconjunto de a ${\mathbb R}^2$ es débilmente abrir el fib es un (no necesariamente disjuntos) de la unión de "abrir los discos en la dimensión 1", es decir, una unión de segmentos abiertos). Con esta definición, es evidente que existe una trivial partición de ${\mathbb R}^2$ a débilmente abrir subconjuntos : si $\cal D$ es el conjunto de todas las líneas paralelas a una dirección, cualquier no-trivial de la partición de $\cal D$ dará lugar a una partición de ${\mathbb R}^2$ a débilmente abrir subconjuntos. ¿Hay algún otro tipo de particiones ?

ACTUALIZACIÓN 06/11/2012 16:30, Ya que la pregunta original fue rápidamente contestado, ahora me pregunto: ¿qué acerca de las particiones en el cerrado, débilmente abrir subconjuntos ?

Sub-pregunta : si un subconjunto es tanto cerrado y poco abierta, no necesariamente contienen una línea recta ?

Answer 1

Su definición se da en el plano de la topología discreta: cada singleton es la intersección de dos segmentos abiertos. Por lo tanto, cada partición del plano califica.

Answer 2

El "débilmente abierto" y los intervalos de líneas de necesidad no todos pueden ser paralelos, para sugerir alternativas de ejemplos. Tomar, por ejemplo, un contable, un conjunto de líneas paralelas al eje de las x, $y = k$ $k$ cada entero, y de relleno en las regiones entre cada consecutivo de par con la unidad de longitud de los intervalos abiertos en paralelo al eje.

Con un poco de ingenio parece que las líneas pueden ser roto de tal manera que la partición implica únicamente la longitud finita de intervalos. Para cada "incluso" línea $y = 2k$, eliminar los puntos de $(2m,2k)$ y combinarlos con los intervalos por encima y por debajo de dicho paralelo al eje y. De igual manera, con "extraño" líneas de $y = 2k+1$ mediante el uso de puntos de $(2m+1,2k+1)$. Por lo tanto no hay intervalo en la partición tendrá una longitud mayor que dos.

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Agregó: he Aquí otro ejemplo de "cerrado" débilmente abierto" conjunto que no contiene infinitos segmento. Cualquiera limitada polígono convexo, si la inclusión o exclusión de su interior, con extremal de puntos (vértices) eliminado es un discontinuo de la unión de longitud finita segmentos abiertos. Por simplicidad, nos tomamos un triángulo sin vértices y countably muchos se traduce de la misma, colocada de modo que la falta de vértices coinciden con los puntos medios de aristas vecinas:

Tenga en cuenta que si los triángulos se equilátero y sin interior, a continuación, todos los componentes de los segmentos abiertos tendrían igual longitud.

Como un reemplazo de la conjetura, parece que cierra "débilmente abierto" planar subconjuntos son sin límites, incluso si sólo finita de segmentos están contenidos en uno.

La definición de "débilmente abierto" conjuntos parece necesitar de apriete. De no ser aclarado por el open "segmento", la frase que sigue, la "unión de abrir los discos de menor dimensión" podría invitar a un solo punto como (homeomórficos a) abrir los discos en $\mathbb{R}^0$. Otro aspecto es si la "unión" o "separe de la unión" fue la intención aquí. Hasta ahora todos los ejemplos aducidos satisfacer a las más estrictas de la calificación de un discontinuo de la unión de segmentos abiertos, y no estoy seguro de si los dos enfoques son equivalentes.

Sin embargo, la principal mejora que habría de venir de la elección de la terminología diferente. "Débilmente", es inepta porque estos juegos no constituir una base distinta para la topología discreta, como Brian M. Scott señaló. Mis dudas acerca de esta terminología se amplían por la yuxtaposición de (topológicamente) cerró con "débilmente abierto".

Answer 3

Aquí es un contraejemplo a su subquestion.

No sé por qué la imagen no está funcionando. De todos modos, tome un cuadrado y extender el lado izquierdo hacia arriba indefinidamente, extender la parte superior a la derecha, extender el lado derecho hacia abajo y extender la parte de abajo a la izquierda. Este es un débil abierta conjunto cerrado con ninguna línea. (A pesar de contar con 4 rayos.)

Answer 4

He aquí otro ejemplo de un cerrado débilmente abrir subconjunto que no contiene una línea recta.

Comience con el avión $\Bbb R^2$ y, a continuación, para cada uno de Eisenstein entero, es decir, un punto en $\Bbb R^2$ de la forma $a(1,0)+b(\cos\frac{2\pi i}{3},\sin\frac{2\pi i}{3})$ donde $a,b\in\Bbb Z$, quitar un disco abierto $D_{a,b}$ centrada en ese punto con diámetro de $1$. Aquí una foto:

El conjunto resultante $A=\Bbb R^2\setminus\bigcup_{a,b\in\Bbb Z}D_{a,b}$ es cerrado, por supuesto, ya que es un complemento de una unión de abrir los discos. Pero también es débilmente abierto: para ver esto, es suficiente para encontrar para cada una de las $x\in A$ abierto segmento de $S_x\subseteq A$ que contiene $x$. (Como, a continuación, $A=\bigcup_{x\in A}S_x$ sigue.)

Si $x$ se encuentra en el interior de $A$, entonces existe un conjunto abierto $U\subseteq A$ tal que $x\in A$, por lo que dicho segmento no existe. Si $x$ se encuentra en el límite de $A$, debía de estar en uno o dos de los límites de los círculos $C_{a,b} = \partial D_{a,b}$. En cualquiera de estos dos casos, es posible elegir un abrir segmento que es tangente al círculo en $x$ y lo suficientemente pequeño para que no se cruzan cualquiera de los abiertos de discos.

Demostrando que este set no contiene líneas rectas cantidades a mostrar que cada línea tendrá que cruzan uno de los discos. Para ello, supongamos que hay una línea que interesects no el disco. Dicha línea deberá contener uno de los puntos donde dos círculos beso (es decir, un elemento de un conjunto a $C_{a_1,b_1}\cap C_{a_2,b_2}$), ya que la eliminación de todos los puntos de $A$ desconecta $A$ en delimitada componentes. La línea tendrá que ser tangente a ambos círculos y cortar una tercera en la mitad, por lo tanto (después de rellenar todos los detalles) demostrando la reclamación.

Answer 5

Lema: Vamos a $A$ ser un sistema cerrado, el débil conjunto abierto, $p$, $q$ y $r$ tres puntos distintos, $p \notin A$, y supongamos que la línea abierta segmentos de $pq$ $pr$ son disjuntas de $A$. Entonces el triángulo abierto $T$ con vértices $p$,$q$,$r$ es disjunta de a $A$. Por otra parte, el abierto segmento de $qr$ es disjunta de a $A$ o contenida en $A$.

Prueba: Si $T$ intersecta $A$, entonces no es un punto de $y$ $T \cap A$ que es tan lejos como sea posible de la línea de $L$ a través de $qr$. $y$ debe estar contenida en un máximo de abrir segmento de $S$$A$, y desde ningún punto de $S$ puede estar más lejos de $L$ que $y$, $S$ debe ser paralela a $L$. Pero desde $S$ no pueden cruzarse los segmentos abiertos $pq$$qr$, debe tener un extremo $y' \in T$. Este extremo también en $A$, y también maximiza la distancia de $L$, pero cualquier segmento que contiene $y'$ y el contenido en $T$ no debe ser paralelo a $L$, contradicción.

Si algún punto de $z$ de la apertura del segmento de $qr$$A$, está contenida en un abrir segmento contenido en $A$, pero dicho segmento no pueden cruzarse $T$, por lo que debe estar en la línea de $L$. Pero si no todos los de $qr$$A$, segmento que tiene un extremo de $z' \in qr$, y, a continuación, abrir un segmento que contiene $z'$ y el contenido en $A$ no debe ser en $L$, contradicción. Que concluye la prueba del Lema.

Teorema: Supongamos $A$ $B$ son disjuntas no vacío, cerrado, débilmente abrir sets. A continuación hay algunos de la línea de $L$ disjunta de a$A \cup B$, $A$ $B$ contienen traduce de $L$.

Prueba: a lo Largo de un segmento de línea desde un punto de $A$ a un punto de $B$ debe haber un intervalo abierto disjunta de a $A \cup B$ que tiene un extremo en $A$ y el otro en $B$. Deje $p$ ser miembro de ese intervalo. Deje $C_A$ el conjunto de puntos de $s$ del círculo unitario $C$ tal que para algunos $t \in (0,\infty)$, $p + t s \in A$ y para todos $t' \in (0,t)$, $p + t' s \notin B$. Del mismo modo definen $C_B$, intercambiando $A$$B$. No es difícil mostrar que $C_A$ $C_B$ está abierto y no vacío. Así que debe de ser $s_1$ $s_2$ $C$ que no están ni en $C_A$ ni $C_B$, dividiendo $C$ en arcos $C_1$ $C_2$ donde $C_A$ intersecta $C_1$ $C_B$ intersecta $C_2$. Pero por el Lema 1, ni de los arcos pueden sobrepasan un ángulo de menos de $\pi$. Por lo tanto los arcos deben sobrepasan $\pi$, es decir,$s_2 = -s_1$, y la línea de $L$ a través de $p$ dirección $s_1$ es disjunta de a $A \cup B$.

Ahora vamos a $q$ ser un punto de $A$ de manera tal que el intervalo abierto $pq$ es disjunta de a $A$, y deje $L'$ ser la línea a través de $q$ paralelo a $L$. Deje $U$ el de apertura de la tira entre el $L$ y $L'$. $U$ es la unión de el abra triángulos con vértices $p$, $q$ y los puntos de $r$$L$. Desde la apertura de los segmentos de $pq$ $pr$ son disjuntas de $A$, el Lema dice $U$ es disjunta de a $A$. Ahora hay un abrir segmento que contiene $q$ y el contenido en $A$, y dado que este segmento no pueden cruzarse $U$ debe estar contenido en $L'$. La aplicación de la segunda parte del Lema a un triángulo con vértices $p$, $q$ y otro punto de $L'$, podemos ver que $L' \subseteq A$.

Corolario: En una partición de ${\mathbb R}^2$ a puerta cerrada, débilmente abrir sets, el límite de cada uno de los miembros de la partición consta de rectas paralelas.