Milnor la definición de fluido del colector de

Question

En Milnor del libro "Topología de una diferencial de punto de vista" en la página uno, se define un suave colector de ser un subconjunto $M \subset \mathbb R^n$ que es localmente diffeomorphic a algún subconjunto abierto de $\mathbb R^k$, es decir, cada punto de $x \in M$ tiene un vecindario $U \subset \mathbb R^n$ tal que $U \cap M = V$ para algunos $V \subset \mathbb R^k$ . La definición habitual que sé es que un suave manifold es un (hausdorff y la segunda contables) topológica del espacio M junto con una tapa abierta $\{U_{\alpha}\}$ y homeomorphisms $f_{\alpha} : U_{\alpha} \rightarrow V_{\alpha}$ tal que $V_{\alpha} \subset \mathbb R^k$ están abiertos y la transición de las funciones de $f_{\beta}f_{\alpha}^{-1}$ son lisas (donde se define).

Pregunta: ¿Cómo es la definición habitual de suave colector implica Los menores de Definición de fluido del Colector?

Answer 1

Usted parece estar preocupado por el hecho de que en Milnor de la definición se habla de suave mapas, mientras que en la tabla de definición, el $f_\alpha$ son sólo homeomorphisms. Sin embargo, una vez que requieren de la transición de las funciones de lisa, podemos ver el $f_\alpha$ como ser suave también.

Por el teorema de la función implícita, una $k$-colector suavemente incrustado en Euclidiana $n$-espacio será la gráfica de una suave vector de valores de la función a través de una adecuada coordinar $k$-plano en $\mathbb{R}^n$. Esto implica la suavidad de la transición de las funciones. Por el contrario, de que tenga un buen colector (en el sentido de suavizar la transición de las funciones, etc.) a continuación, Whitney le da una suave integración en el espacio Euclidiano.