Para que los enteros x, y es $2^x + 3^y$ un cuadrado de un número racional?

Question

Para que los enteros x, y es $2^x + 3^y$ un cuadrado de un número racional?

(Por supuesto, $(x,y)=(0,1),(3,0)$ trabajo)

Answer 1

Caso 1:

Vamos a tratar el caso de $x,y\geq 1$ primera. Deje $2^x+3^y=n^2$ (donde $n>0$). Nos damos cuenta de que $3\not|n$, por lo $n^2\equiv 1(\mod\,3)$. Ahora considere la ecuación $2^x+3^y=n^2$ $(mod\,3)$, tenemos que $(-1)^x\equiv n^2\equiv 1(\mod\,3)$. Por lo tanto $2|x$. Deje $x=2u$. Por lo tanto, $4^u+3^y=n^2$. Ahora mueva el $4^u$ hacia el otro lado para obtener una diferencia de cuadrados: $$3^y=n^2-4^u=(n-2^u)(n+2^u)$$ 3 no se puede dividir tanto de $(n-2^u),(n+2^u)$. Por lo tanto cualquiera de las $n+2^u=1$ (claramente no es el caso) o $n-2^u=1$.Por lo tanto, $n+2^u=3^y$. Por lo tanto: $$1=n-2^u=3^y-2^{u+1}$$ Ahora sabemos de catalán de la Conjetura de que ..... (http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan's_conjecture) y hemos terminado con el primer caso.

Estoy casi seguro que los otros casos pueden ser manejados de manera similar, pero me siento perezoso (puedo estar equivocado).

Edición: Ivan Loh señaló que el catalán es una Conjetura puede ser evitado. El argumento de que iba a sustituir catalán de la conjetura es en los comentarios

Answer 2

También existen entero negativo soluciones. Considere la posibilidad de $(-4,-2)$, donde la expresión se convierte entonces en $\frac{1}{16}+\frac{1}{9} = \frac{9}{144}+\frac{16}{144} = \frac{25}{144}$ que es el cuadrado de $\frac{5}{12}$.