Por lo que he visto estos definido en la construcción de formas diferenciales y en la construcción de la integración de los colectores. Sin embargo, estos parecen ser un asunto estándar en la mayoría de los graduados de álgebra libros, sin embargo, nunca los he visto aplicado en cualquier otro lugar que en la geometría diferencial.
Mi pregunta es: ¿Qué hacen estos tienen como objetos abstractos? ¿Cuál es la información que transmiten?
El exterior poderes inducir operaciones (algebraicas y topológicas) K-teoría. Dada una f.g. $R$-módulo de $P$ (o un vector paquete de más de espacio), el $n$th exterior del módulo de alimentación de $\Lambda^{n}P$ es de nuevo proyectiva, y así induce un auto mapa de el grupo de Grothendieck $\lambda^{n} : K_{0}(R) \rightarrow K_{0}(R)$. Si lo hacemos así para cada una de las $n$ dar $K_{0}(R)$ la estructura de una $\lambda$-ring. Tomando exterior poderes de vector de paquetes de más de un espacio fijo $X$ pone un $\lambda$-anillo de la estructura topológica de la K-teoría de la $K^{0}(X)$ exactamente de la misma manera.
Tenga en cuenta que el $\lambda$-operaciones no son homomorphisms, pero con un $\lambda$estructura de anillo podemos definir formalmente Adams operaciones en que el anillo en una forma canónica. El Adams operaciones están anillo homomorphisms, por lo que puede ser utilizado para deducir información adicional acerca de la $K^{0}(X)$. Adams se utiliza este método para resolver el invariante de Hopf 1 problema, que se resuelve la cuestión de que las esferas se $H$-espacios (como un corolario de esto podemos concluir que la única finito dimensionales normativa de la división de álgebras de más de $\mathbb{R}$ son reales en sí mismos, los números complejos, los cuaterniones y la octonions).
De la misma manera como se mencionó anteriormente, el simétrico de energía functors también inducir operaciones en K-teoría, a menudo denotado $\sigma^{n}$. Tanto en el exterior poderes y la simétrica poderes son casos especiales de Schur functors. Así como las aplicaciones de K-teoría, Schur functors tienen aplicaciones en la teoría de la representación de grupos simétricos.
Simétrica álgebras son polinomio de álgebras. Los polinomios de aparecer por todo el lugar. Exterior álgebras también aparecen por todo el lugar. Se puede pensar en ellos como graduales polinomio de álgebras.
Un ejemplo sencillo es que si $\mathfrak g$ es una Mentira álgebra, entonces $$\cdots\to\Lambda^{k+1} \mathfrak g \to \Lambda^{k} \mathfrak g\to\cdots$$ es un complejo de cadena, donde el límite operador está definido por $$\partial(x_1\wedge\cdots\wedge x_k)=\sum_{i<j}(-1)^{i+j+1}[x_i,x_j]\wedge x_1\wedge\cdots\wedge \hat{x_i}\wedge\cdots\wedge \hat{x_j}\wedge\cdots\wedge x_k.$$ Aquí el "sombrero" de la notación significa eliminar los términos del largo de la cuña. Mentira álgebra de homología es $H_*(\mathfrak g)$ se define como la homología de este complejo. (Esto se llama la Chevalley-Eilenberg complejo.)
El hecho de que $[\cdot,\cdot]$ satisface la identidad de Jacobi es equivalente a $\partial^2=0,$ e esta la clave para definir de forma más flexible gadget callet un $L_{\infty}$-álgebra, que es cualquier coderivation en $\Lambda\mathfrak g$ satisfacción $d^2=0$.
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