Mayor valor singular de la matriz cuadrada no

Question

Deje $B$ $m\times n$ matriz con el número complejo como su elemento. Deje $\sigma$ denota el mayor valor singular de a $B$ Demostrar que \begin{equation} \sigma = \max\limits_{\|u\|_2=1,\|v\|_2=1} |u^*Bv|. \end{equation}

Mi solución parcial:

Deje $x$ ser el autovector de a $B^*B$ que corespond a eigen valor de $\sigma^2$. Definir $z=\frac{x}{\|x\|_2}$$w=\frac{1}{\sigma} Bz$. Tenga en cuenta que$\|z\|_2=1$$\|w\|_2=\sqrt{w^*w}=\sqrt{\frac{1}{\sigma^2} z^*B^*Bz}=\frac{1}{\sigma}\sqrt{z^*\sigma^2 z}=1$. Así \begin{align*} \sigma=\frac{1}{\sigma} z^*\sigma^2z=\frac{1}{\sigma} z^* B^*Bz=w^*Bz\leq \max\limits_{\|u\|_2=1,\|v\|_2=1} |u^*Bv|. \end{align*}

Mi pregunta es que cómo demostrar a la inversa de la desigualdad.

Si $m=n$, entonces puedo resolver el problema mediante el uso de la de Rayleigh-Ritz teorema de $B^*B$. Pero, no tengo idea de por $m\neq n$.

Gracias.

Answer 1

Lo que acerca de esto?

$$u^* B v \leq \|u\| \times \|B v\|= \sqrt{v' B* B v} \leq \sigma,$$

donde el último débil de la desigualdad se deduce del hecho de que $B^*B$ es simétrica y, por tanto, puede ser escrito como $\sum_i \lambda_i x_i x_i'$ donde $\lambda_i$ son sus autovalores y $x_i$ sus vectores propios.

Answer 2

En lo que sigue, se utiliza, para el interior del producto de los vectores, la notación $\langle u,v\rangle=v^*u$.

Por definición $$ \sigma^2=\max_{\|v\|_2=1} \langle v, B^*B v\rangle=\max_{\|v\|_2=1} \langle Bv, B, v\rangle=\max_{\|v\|_2=1}\|Bv\|^2, $$ y por lo tanto $$ \sigma=\max_{\|v\|_2=1}\|Bv\|. \etiqueta{1} $$ Al mismo tiempo, para cualquier vector $w\in\mathbb R^m$ sabemos que $$ \|w\|=\max_{\|u\|_2=1}\langle w,u\rangle. \etiqueta {2} $$ La combinación de $(1)$ $(2)$ obtenemos $$ \sigma=\max_{\|v\|_2=1}\|Bv\|=\max_{\|v\|_2=1,\|u\|_2=1}\langle Bv,u\rangle. $$

Answer 3

Deje $B = U S V^*$ ser la descomposición de valor singular de a $B$ $S$ es la matriz diagonal de los valores propios de a $B$, entonces para todos los vectores unitarios $u$$v$, vamos a $u' = U^*u$$v' = V^*v$: $$ \begin{align*} u^* B v& = u^* U S V^* v = u'^* S v' = \sum_i u'_i S_{ii} v'_i \\ \therefore \; \left|u^* B v\right| &= \left|\sum_i u'_i S_{ii} v'_i\right| \leq \left|\sum_i u'_i \sigma v'_i\right| = \sigma\,\left|u' \cdot v'\right| \leq \sigma \end{align*} $$ desde $\forall i \; S_{ii} \leq \sigma$ por la asunción y la $\left|u' \cdot v'\right| \leq 1$ desde $\|u'\|_2 = \|U^*u\|_2 = 1$ $\|v'\|_2 = \|V^*v\|_2 = 1$ porque $U$ $V$ son unitarias, por definición de la enfermedad vesicular porcina.

Para demostrar que la máxima realidad es $\sigma$ asumen $u$ $v$ son tales que $\forall i \; u'_i = v'_i = \delta_{ia}$ fijos $a$ donde $S_{aa} = \sigma$ $$ u^*Bv = \sum_i u'_i S_{ii} v'_i = u'_a S_{aa} v'_a = \sigma $$ Desde unitario matrices son invertible, no siempre existe la unidad de vectores $u$ $v$ tal que $\left| u^* B v \right| = \sigma$

Answer 4

El reverso de la desigualdad se deduce del hecho de que $\|B\|_2 = \sigma$.

Deje $u$ $v$ ser vectores unitarios. Entonces \begin{align*} | u^* B v | &\leq \|u \|_2 \|B v\|_2 \qquad \text{(by Cauchy-Schwarz inequality)}\\ &\leq \|u\|_2 \|B\|_2 \|v\|_2 \\ &= \sigma. \end{align*}

De ello se sigue que \begin{equation} \max_{\|u\|_2=1,\|v\|_2=1} | u^* B v| \leq \sigma. \end{equation}