Es un grupo de determinada únicamente por los conjuntos {ab,ba} para cada par de elementos a y b?

Question

Esta pregunta ha sido publicado aquí en mathoverflow.

Para un determinado grupo $G=(S,\cdot)$ con el conjunto subyacente de $S$, considere la función $$ F_G:S\times S\a\mathcal P(S)\\ F_G(a,b):=\{a\cdot b,~b\cdot a\} $$ desde $S\times S$ para el poder establecido de $S$.

Me gustaría averiguar la cantidad de información a partir de $G$ es codificada por $F_G$. En particular, no $F_G$ determinar el grupo $G$ a isomorfismo?

Dado los diferentes grupos $G_1$ y $G_2$ con los conjuntos de $S_1$ y $S_2$, suponga que una función $\varphi:S_1\a S_2$ tiene la propiedad $\varphi\bigl(F_{G_1}(a,b)\bigr)=F_{G_2}\bigl(\varphi(a),\varphi(b)\bigr)$ para todo $a$ y $b$ en $G_1$; si $\varphi^{-1}$ existe y tiene esta propiedad como bueno, digamos que $F_{G_1}\cong F_{G_2}$. Para una cosa, si $G_1\cong G_2$ entonces $F_{G_1}\cong F_{G_2}$. Va de otra manera, si $F_{G_1}\cong F_{G_2}$ entonces $|G_1|=|G_2|$ y $Z(G_1)\cong Z(G_2)$.

Dado $F_G$, es fácil encontrar que los pares de elementos en $G$ el viaje, que los subconjuntos de $G$ constituir subgrupos de $G$, y que los subconjuntos de $G$, que están generando conjuntos de $G$. Además, si $F_{G_1}\cong F_{G_2}$ entonces $G_1$ y $G_2$ debe tener el mismo ciclo de la gráfica. Esto significa que, si $F_{G_1}\cong F_{G_2}$ y el orden de estos grupos es menor de 16 años, luego $G_1\cong G_2$. De hecho, según la Wikipedia es una página sobre ciclo de gráficos "Para grupos con menos de 16 elementos, el gráfico del ciclo determina el grupo (hasta el isomorfismo)."

La cuestión que ha plagado a mí es si $F_{G_1}\cong F_{G_2}\implica G_1\cong G_2$ en la general, el caso finito. Creo que un contraejemplo sería necesario involucrar a los grupos de la orden de 16 o más grande. Alguna idea?

EDITAR:

Esta pregunta ha sido resuelta en mathoverflow. La respuesta es sí, $F_G$ no determinar de $G$ a isomorfismo.

Answer 1

Hasta ahora puedo decir obtenemos la siguiente lista de cosas. Cuando digo que "sabemos de un subgrupo," me refiero a que sabemos de su conjunto subyacente como un subgrupo de $G$, no su estructura algebraica. Para $X,Y\subseteq G$ podemos extender la definición de $F$, de modo que $F(X,Y)=\bigcup_{x\in X,y\in Y}F(x,y)$.

• Identidad: el elemento $e\in G$ es el único de $x\in G$ tal que $F(x,x)=\{x\}$.
• Inversos: dado $g\in G$, su inversa $g^{-1}\in G$ es el único de $x\in G$ tal que $F(x,g)=\{e\}$.
• Los poderes de los elementos: desde que hemos inversas y $\{g^n\}=F(g,g^{n-1})$, podemos de forma recursiva calcular cualquier potencia entera de un elemento.
• Los pedidos de elementos cíclicos submonoids, gráfico del ciclo: a través de los poderes de los elementos.
• De torsión y $p$-torsión: a través de los pedidos de los elementos.
• Clases Conjugacy: desde $F(b,F(a,b^{-1}))=\{bab^{-1},a,b^{-1}ab\}$, la clase conjugacy de un elemento dado $a\in G$ es dada por $\bigcup_{b\in G}F(b,F(a,b^{-1}))$.
• Desplazamientos de los pares de elementos: $a,b\in G$ conmutar iff $F(a,b)$ es un singleton.
• Centralizadores de subconjuntos y centro: consecuencia de los desplazamientos de los pares de elementos.
• Cíclico órbitas bajo interior automorfismos: dado $b\in G$, la órbita de $G$ bajo el mapa de $x\mapsto bxb^{-1}$ es la aplicación de la fórmula en las clases conjugacy de forma recursiva.
• Normalizadores de subconjuntos y normal subconjuntos: dado un subconjunto $X\subseteq G$, normalizador es el conjunto de todos los elementos de $g\in G$ que $gXg^{-1}=X$. Esto es equivalente a $X$ de ser una unión de órbitas en virtud del interior automorphism $x\mapsto gxg^{-1}$, lo que sabemos. Normal subconjuntos de seguir.
• Subgrupos generados por subconjuntos: Dado un subconjunto $S$, en el subgrupo de $\langle S\rangle$ es la intersección de todos los subconjuntos de $G$ que contiene a $S$, cerrado bajo la recíproca, y tales que $x,y\in S\Rightarrow F(x,y)\subseteq S$.
• La celosía de subgrupos normales y subgrupos: podemos identificar que los subconjuntos de subgrupos utilizando subgrupo generado por la propiedad ($S$ es un subgrupo de ffi $S=\langle S\rangle$), luego ordenarlas de acuerdo a la inclusión. Por las pruebas para el subgrupo de propiedad y normal subconjunto de la propiedad tanto, podemos identificar subgrupos normales también.
• Subgrupos de Sylow: subgrupos de máxima con respecto a la que contiene $p$-torsión de los elementos.
• Máxima/mínima (normal) subgrupos: estos pueden ser identificados por mirar el entramado de subgrupos o de celosía de subgrupos normales.
• Relativa normalidad. Si $H\le K\le G$ entonces $H\triangleleft K$ puede ser probado mediante la restricción de $F_G$ $K$ para obtener la función $F_K$ y, a continuación, podemos identificar como un subgrupo normal.
• Nilpotence: nilpotent iff todas máxima subgrupos son normales.
• Frattini subgrupo: se cruzan todas máxima subgrupos.
• Jefe de factores y director de la serie: el uso de la celosía de la normal de subgrupos.
• Ajuste del subgrupo: para calcular el centralizador de un factor principal $H/K$, la primera partición de $H$ en cosets de $K$ través $aK=F_H(a,K)$ (desde $K$ es normal en $H$), luego encontrar todos los $g\in G$ que cada coset de $K$ es estable bajo la conjugación de $g$, es decir, es la unión de los cíclico de las órbitas. A continuación, se cruzan todos los centralizadores de los factores principales para la instalación de los subgrupos.
• Zócalo: generar un subgrupo de la unión de un mínimo normal subgrupos.
• Conjunto de conmutadores. Los conmutadores son de la forma $(ab)(ab)^{-1}$. Así que escribir $F(a,b)=\{x,y\}$ y, a continuación, calcular $H(a,b)=F(x,y^{-1})\cup F(x^{-1},y)$. La serie de conmutadores es de $\bigcup_{a,b\in G}H(a,b)$.
• Derivados de los subgrupos y los derivados de la serie: se utiliza subgrupo generado por y conjunto de conmutadores para obtener $G'$. Dado que $F$ restringido a $G'$ es $F_{G'}$, simplemente iteración para obtener la derivada de la serie.
• Solvencia: sigue a partir de la derivada de la serie.

Se ha sugerido que tomemos $G$ a nonabelian grupo y $H,K$ dos nonisomorphic grupos de la misma orden y considerar $G\times H$ frente $G\times K$. En este caso, ya que los datos del ciclo de $H$ y $K$ será diferente, los datos del ciclo de $G\times H$ y $G\times K$ serán diferentes, por lo que su $F$'s va a ser diferente si $G,H,K$ son finitos, y así esto no crea ninguna finito contraejemplos.

Answer 2

No sé la respuesta, en la parte superior de mi cabeza. Pero si tuviera que hacer frente a este problema, esta es la forma en que me gustaría ir sobre ella: por lo que recuerdo, el primer no-Abelian simple grupo es del orden de los 60 y es isumorphic a A5. Este hecho es importante en este caso, dado que su reclamo es obviamente cierto si los grupos son Abelian dado que Z(G) es igual a G en este caso. (También,sólo para tener cuidado aquí, si son isomorfos, entonces es claro que AMBOS grupos deben ser Abelian.Probarlo,no es difícil.) También, evidentemente, todos los subgrupos de Abelian grupos son normales. Por lo tanto, me parece que los casos que se desea comprobar la no-Abelian simple grupos, ya que estos son los grupos finitos puede haber alguna pregunta en cuanto a la validez de su implicación.

Lo que realmente quiero saber es ¿de dónde viene exactamente la implicación romper en todo caso. Me gustaría empezar con la alternancia grupo A5 y algunos Abelian grupo de la misma orden (60) y poner a prueba sus hipótesis. Claramente es el otro grupo Abelian, no puede ser isomorfo a A5. También, los centros no pueden ser isomorfos.

Yo tendría que trabajar en esto durante un tiempo,pero que debe comenzar Buena suerte!