La citada fórmula no es del todo correcta. Vamos a derivar la correcta.
Dado que la población media (o cualquier otra constante) puede ser sustraído de cada valor en una población $S$ sin cambiar la varianza de la población o de la muestra de la misma, se podría asumir que la población media es cero. Dejar los valores en la población de se $\{x_i\, \vert\, i\in S\}$, esto implica
$$0 = \sum_{i\in S} x_i.$$
El cuadrado ambos lados mantiene la igualdad, dando
$$0 = \sum_{i,j\in S}x_ix_j = \sum_{i\in S}x_i^2 + \sum_{i \ne j \in S} x_ix_j,$$
de dónde
$$\sum_{i\ne j \in S} x_ix_j = -\sum_{i\in S} x_i^2.$$
Este resultado clave será empleada más tarde.
Deje $S$ ha $N$ elementos. Debido a que su media es cero, su varianza es el promedio del cuadrado de valor:
$$s^2 = \frac{1}{N}\sum_{i\in S}x_i^2.$$
(Por favor, tenga en cuenta que no puede haber ninguna controversia sobre el denominador de $N$; en particular, definitivamente no es $N-1$: esta es una población de la varianza, no de un estimador.)
Para encontrar la varianza de la distribución muestral de la media, tener en cuenta todas las $n$-elemento de muestras. Cada uno corresponde a un $n$-subconjunto $A\subset S$ y tiene una media
$$\frac{1}{n}\sum_{i\in A} x_i.$$
Dado que la media de toda la muestra de medios es igual a la media de $S$, que es cero, la varianza de estos $\binom{N}{n}$ de la muestra significa que es el promedio de sus plazas:
$$s_n^2 = \frac{1}{\binom{N}{n}} \sum_{A\subset S}\left(\frac{1}{n}\sum_{i\in A}x_i\right)^2 = \frac{1}{n^2\binom{N}{n}} \sum_{A\subset S}\sum_{i,j\in A}x_ix_j \\= \frac{1}{n^2\binom{N}{n}} \sum_{A\subset S}\left(\sum_{i\in A}x_i^2 + \sum_{i\ne j\in A}x_ix_j\right) .$$
(Una vez más, $\binom{N}{n}$, no $\binom{N}{n}-1$, es la correcta denominador: esta es la varianza de una colección de $\binom{N}{n}$ números, no de un estimador de nada).
Revisión, por un momento, cualquier índice de $i$. El valor de $x_i$ aparecerá en $\binom{N-1}{n-1}$ de las muestras, debido a que cada muestra suplementos $x_i$ $n-1$ más de los elementos de $S$ $N-1$ resto de los elementos (el muestreo es sin reemplazo, recuerda). Su contribución a la mano derecha, por lo tanto es igual a $\binom{N-1}{n-1}x_i^2$.
También la fijación de un índice $j\ne i$, razonamiento similar muestra el producto $x_ix_j$ aparece en $\binom{N-2}{n-2}$ muestras, contribuyendo $\binom{N-1}{n-1}x_ix_j$ a la derecha. Por lo tanto, al sumar más de todos esos $i$$j$$S$,
$$s_n^2 = \frac{1}{n^2\binom{N}{n}} \left(\binom{N-1}{n-1}\sum_{i\in S}x_i^2 + \binom{N-2}{n-2}\sum_{i\ne j\in S}x_ix_j\right).$$
Enchufe el primer resultado en la última suma:
$$s_n^2 = \frac{1}{n^2\binom{N}{n}} \left(\binom{N-1}{n-1}\sum_{i\in S}x_i^2 + \binom{N-2}{n-2}\left(-\sum_{i\in S}x_i^2\right)\right).$$
Ahora es muy sencillo relacionar esta a la variación de $S$, debido a $\sum_{i\in S}x_i^2 = Ns^2$:
$$s_n^2 = \frac{1}{n^2\binom{N}{n}} \left(\binom{N-1}{n-1} - \binom{N-2}{n-2}\right)\left(Ns^2\right) = \frac{s^2}{n}\left(1 - \frac{n-1}{N-1}\right).$$
Por lo tanto la varianza muestral para el muestreo con replacment, $\frac{s^2}{n}$, se multiplica por $1 - \frac{n-1}{N-1}$ para obtener la varianza muestral para el muestreo sin reemplazo, $s_n^2$. En consecuencia, la multiplicación de ajuste para el muestreo de la desviación estándar es su raíz cuadrada, $\sqrt{1- \frac{n-1}{N-1}}$. Esto difiere de la citada fórmula, que utiliza $\sqrt{1 - \frac{n}{N}}$.
Dos comprobaciones simples nos puede dar un poco de consuelo con respecto a la corrección de este resultado. En primer lugar, la varianza de la muestra de medios de las muestras de tamaño $n=1$, $s_1^2$, obviamente es igual a la varianza de la población $s^2$. La fórmula correcta estados
$$s_1^2 = \frac{s^2}{1}\left(1 - \frac{1-1}{N-1}\right) = s^2,$$
como debería. Por desgracia, la citada fórmula afirma que $s_1^2 = s^2(\frac{1}{1} - \frac{1}{N})$, lo que, obviamente, no puede ser buena. Segundo, la varianza de la muestra de los medios de las muestras de tamaño $n=N$ es cero, porque no hay ninguna variación, y de hecho ambas fórmulas dar $0$ en este caso.
