Yo estaba tratando de resolver el problema de demostrar que existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto de la izquierda cosets de H en G y el conjunto de la derecha cosets. He tratado de demostrar mediante la creación de una función de mapeo aH ah como sigue: $f(ah) = ha$. Razoné que es bijective como $h'a = ha$ implica $ah = ah'$, y dado $ha$, sabemos que $f(ah) = ha$. Sin embargo, todas las pruebas que he encontrado en la internet asignada ah a $ha^{-1}$. ¿Alguien puede explicar por qué es necesario el uso de la inversa?
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Jeff
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Para algunos fijos $a \in G$ el mapa de $aH \to Ha, ah \mapsto ha$ es bijective, sí. Pero esto sólo se ocupa de dos de cosets. Es una manera totalmente diferente declaración de que hay un $1:1$ correspondencia entre el conjunto de todos los de la izquierda cosets $G ~/~ H$ y el conjunto de todos los derechos cosets $H \setminus G$. Observar que el mapa $G ~/~ H \to H \setminus G$, $aH \mapsto Ha$ es que no bien definidos. De hecho, tenemos $aH = bH \Leftrightarrow (aH)^{-1} = (bH)^{-1} \Leftrightarrow H a^{-1} = H b^{-1}$. En lugar de eso, tenemos que tomar $G ~/~ H \to H \setminus G$, $aH \mapsto H a^{-1}$. Esta es una bien definida bijection.
Alexander Gruber
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En primer lugar, usted podría sentirse inclinado a probar el mapa $\phi(aH)=Ha$. El problema es que este mapa no está bien definido - usted puede encontrar ejemplos en los que dos elementos en el coset $aH$ mapas de las distintas derecho cosets. En otras palabras, $aH=bH$ no implica que $Ha=Hb$.
La solución a este problema es utilizar en su lugar $\phi(aH)=H{a^{-1}}$ internet soluciones sugeridas. El enfoque ingenuo, es notar que $(aH)^{-1}=H^{-1}a^{-1}=Ha^{-1}$, por lo que podemos esperar que $aH=bH$ implica que el $Ha^{-1}=Hb^{-1}$, lo que demuestra que $\phi(aH)=Ha^{-1}$ está bien definido.
(Descargo de responsabilidad. Tenga cuidado aquí. Cuando escribo $(aH)^{-1}$ me estoy refiriendo al conjunto $\{x^{-1}:x\in aH\}$. Más tarde, en el cociente de grupos, $(aH)^{-1}$ se refieren a la inversa del elemento $aH$ en el cociente grupo $G/H$, que es una cosa totalmente diferente.)
También me gustaría añadir que es importante tener en cuenta que su teorema no hace ninguna suposición de que el grupo es finito. En un grupo finito, de hecho, del teorema de Lagrange hace que sea muy fácil probar que el número de la izquierda y la derecha cosets son los mismos. Para probar esta infinito grupos, sin embargo, necesitamos de su lema.
zyx
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¿Alguien puede explicar por qué es necesario el uso de la inversa?
Se necesita un mapa del grupo que invierte la izquierda-a la derecha de la orden de la multiplicación ( $f(xy)=f(y)f(x)$, un anti-homomorphism), envía a $H$$H$, y es una correspondencia 1-1 (es "bijective"). En algunas situaciones hay otras funciones que el inverso que lograr esto, pero en la generalidad de todos los grupo/subgrupo pares, y la inversa es la única opción.
En semigroups, estructuras algebraicas que cumplen el grupo de axiomas excepto por la existencia de inversos, los conceptos de sub-semigroup y cosets con respecto a un subsemigroup un sentido perfecto y puede ser definido de la misma manera como para grupos. Allí, el teorema no es cierto, el número de la izquierda y la derecha cosets puede ser diferente. Esto indica que la recíproca, han de utilizarse en algún lugar de la prueba.
