Serie Infinita : $ \sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma \left(n+\frac{1}{2} \right)\psi \left(n+\frac{1}{2} \right)}{n! \left(n+\frac{3}{2}\right)^2}$

Question

Pruébalo:

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma \left(n+\frac{1}{2} \right)\psi \left(n+\frac{1}{2} \right)}{n! \left(n+\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{-\pi^{\frac{3}{2}}}{12}\left( \pi^2+6\gamma(1-2\log 2)-12\log 2\right)$$

donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni y $\psi(z)$ es la función Digamma.

Answer 1

Comienza con

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma(n+1-y)}{n!}\frac{1}{x+n} = \frac{\pi \Gamma(x)}{\sin(\pi y) \Gamma(x+y)}$$

Diferenciando con respecto a $x$ da

$$-\sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma(n+1-y)}{n!}\frac{1}{(x+n)^2} = \frac{\pi \Gamma(x)}{\sin(\pi y) \Gamma(x+y)} \left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\}$$

Ahora, diferenciar con respecto a $y$ :

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma(n+1-y)\psi(n+1-y)}{n!}\frac{1}{(n+x)^2}=\frac{-\pi \Gamma(x)}{\sin(\pi y)\Gamma(x+y)}\left[ \{ \sin(\pi y)\psi(x+y)+\pi\cos(\pi y)\}\{\psi(x)-\psi(x+y)\}+\psi_1(x+y)\right]$$

Poniendo $x=\frac{3}{2}$ y $y=\frac{1}{2}$ da el resultado deseado.

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma \left(n+\frac{1}{2} \right)\psi \left(n+\frac{1}{2} \right)}{n! \left(n+\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{-\pi^{\frac{3}{2}}}{12}\left( \pi^2+6\gamma(1-2\log 2)-12\log 2\right)$$

Si tienes algún otro método, por favor ilumíname.

Answer 2

Considere la serie \begin {alinear} S(x,y) = \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac { \Gamma ¡(n+x)}{n! \ (n+y+1)^{2}. \end {align} Esta serie se puede evaluar de la siguiente manera \begin {align} S(x,y) &= \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac { \Gamma (x) \N - (x)_{n}{} \Gamma (2) \ n!} \ \int_ {0}^{ \infty } e^{-(n+y+1)t} \N t \N dt \\ &= \Gamma (x) \ \int_ {0}^{ \infty } e^{-(y+1)t} \left ( \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac { \Gamma (x) \N (x)_{n} \ e^{-nt}} {{n}} \right ) \ t \ dt \\ &= \Gamma (x) \ \int_ {0}^{ \infty e^{-(y+1)t} \N t (1-e^{-t})^{-x} \N dt \\ &= - \Gamma (x) \ \int_ {0}^{1} u^{y} (1-u)^{-x} \N - \ln (u) \N - du \\ &= - \Gamma (x) \partial_ {y} B(y+1, 1-x) \\ S(x,y) &= - \Gamma (x) \N - B(y+1, 1-x) \N - \left [ \psi (y+1) - \psi (2+y-x) \right ]. \end {align} lo que da como resultado \begin {align} \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac { \Gamma ¡(n+x)}{n! \ (n+y+1)^{2}} = - \Gamma (x) \N - B(y+1, 1-x) \N - \left [ \psi (y+1) - \psi (2+y-x) \right ]. \end {align}

Tomando la derivada con respecto a $x$ lleva a \begin {align} \partial_ {x} S(x,y) &= - \Gamma (x) \N - B(y+1,1-x) \N - \left [ \psi_ {1}(2+y-x) + ( \psi (y+1) - \psi (2+y-x)) \right. \\ & \hspace {15mm} \left. \cdot ( \psi (2+y-x) - \psi (1-x) + \psi (x)) \right ] \end {align} lo que da como resultado \begin {align} \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac { \Gamma (n+x) \N - en el caso de que se trate de un caso de \psi ¡(n+x)}{n! \ (n+y+1)^{2} &= - \Gamma (x) \N - B(y+1,1-x) \N - \left [ \psi_ {1}(2+y-x) \right. \\ & \hspace {15mm} \left. + ( \psi (y+1) - \psi (2+y-x)) \cdot ( \psi (2+y-x) - \psi (1-x) + \psi (x)) \right ]. \end {align}

Tomando $x=y=1/2$ conduce a las dos series \begin {align} \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac { \Gamma\left (n+ \frac {1}{2} \right ¡)}{n! \ \left (n+ \frac {3}{2} \right )^{2}} = \frac { \pi ^{3/2}}{2} ( 2 \ln 2 -1). \end {align} y \begin {align} \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac { \Gamma\left (n+ \frac {1}{2} \right ) \ \psi\left (n+ \frac {1}{2} \right ¡)}{n! \ \left (n+ \frac {3}{2} \right )^{2}} &= - \frac { \pi ^{3/2}}{12} \ \left [ \pi ^{2} + 6 \gamma (1 - 2 \ln 2 ) - 12 \ln 2 \right ]. \end {align}