Cuál es la función de satisfacer: $f(x)+f^{-1}(x)=2x$?

Question

Cuál es la función de satisfacer: $f(x)+f^{-1}(x)=2x$?

He probado a sustituir a $x=f(x)$ conseguir $f^{(2)}(x)+1=2f(x)$ y, posteriormente, conecta en valores para tratar de encontrar a$f(x)$, pero fue en vano. Por favor ayuda gracias de antemano!

Answer 1

Creo que puedo demostrar que (bajo ciertas condiciones), funciones lineales $f(x) = x + c$ son las únicas soluciones.

La ecuación (implícitamente) se supone que $f$ tiene una función inversa $f^{-1}$ con el mismo dominio como $f$. Sólo estoy considerando bijective funciones de $f : \mathbb R \to \mathbb R$ aquí. Tenga en cuenta que estas funciones son estrictamente monótona si y sólo si son continuas.

Mi reclamo es:

Deje $f : \mathbb R \to \mathbb R$ ser continua y bijective tal que $$ \tag 1 f(x) + f^{-1}(x) = 2x \text{ para todo } x \in \mathbb R \, . $$

A continuación, $f(x) = x+f(0)$ todos los $x \in \mathbb R$.

Si $f(x) \equiv x$, entonces hemos terminado, así que vamos a suponer que $f(a) \ne a$ para algunos $a \in \mathbb R$. Sin pérdida de generalidad podemos suponga que $f(a) > a$, a considerar de otra manera $g := f^{-1}$ en lugar de $f$. Así $$ d := f(a) - a > 0 \, . $$

Se desprende de lo $(1)$ que $$ f^{(2)}(x) = 2 f(x) - x \tag 2 $$ y, a continuación, a través de la inducción para todos los $n \in \mathbb N$ $$ f^{(n)}(x) = n f(x) - (n-1)x \, . \etiqueta 3 $$ En particular, $$ f^{(n)}(a) = n\,f(a) - (n-1) = n (a+d) - (n-1) a = a + nd \, . $$ La aplicación de la misma cálculo de a $f^{-1}$ da $$ f^{(n)}(a) = a - nd \, . $$ Juntos se sigue que $$ f(a + kd) = a + (k+1)d \etiqueta 4 $$ para todos los $k \in \mathbb Z$.

$f$ es estrictamente monótona, por lo $(4)$ implica que cada intervalo de $a + kd$ $a + (k+1)d$se transforma en el "next" intervalo: $$ f \bigl([a + kd + (k+1)d]\bigr) = [a + (k+1)d, a + (k+2)d] \etiqueta {5} $$

Ahora vamos a $x \in \mathbb R$ y elija $k \in \mathbb Z$ tal que $$ a + kd \le x < a + (k+1)d \, . \tag 6 $$ Para todos los $n \in \mathbb N$ se desprende de lo $(5)$ $(6)$ que $$ x + (n-1)d \le a + (k+n)d \le f^{(n)}(x) \le a + (k+n+1)d \le x + (n+1) d \, . $$ Sustituyendo esto en $(3)$ da $$ x + (n-1)d \le n f(x) - (n-1)x \le x + (n+1) d $$ o $$ \frac{nx + (n-1)d}{n} \le f(x) \le \frac{n x + (n+1)d}{n} \, . $$ Finalmente, $n \to \infty$ da $$ x + d \le f(x) \le x + d \, . $$