Valoración no trivial de $\mathbb R$

Question

En un libro de campos valorados en la página $82$ hay una pregunta: "demuestre que toda valoración no trivial de $\mathbb R$ tiene grupo de valor divisible y campo de clase de residuo algebraicamente cerrado". ¿Cómo puedo enfocar este problema? Gracias.

Answer 1

Dejemos que $v$ sea una valoración sobre $\mathbb{R}$ y asumir que su campo de residuos $k$ no es algebraicamente cerrado. Entonces existe un polinomio irreducible mónico $f\in k[X]$ de grado $>1$ . Su elevación a $O[X]$ , donde $O$ es el anillo de valoración de $v$ es irreducible sobre $O$ y por lo tanto sobre $\mathbb{R}$ -- esto se desprende del llamado Lema de Gauss. En consecuencia, el grado de $f$ es $2$ . Por el teorema de Artin se deduce que $k$ es real cerrado. Por lo tanto, lleva un ordenamiento único; los elementos positivos son precisamente las sumas de los cuadrados no nulos de $k$ . Obsérvese que lo mismo ocurre con $\mathbb{R}$ . En consecuencia, el mapa de residuos $O\rightarrow k$ preserva los ordenamientos de $\mathbb{R}$ y $k$ . Esta propiedad implica directamente

$ 0\leq x < y \Rightarrow v(x)\geq v(y) (*) $

Desde $k$ tiene la característica $0$ uno sabe que $v$ es trivial en $\mathbb{Q}$ . La ecuación (*) implica, por tanto, que para cada $x\in M$ , $M$ el ideal máximo de $O$ , uno tiene $x<q$ para todo número racional positivo $q$ contradiciendo la densidad de los racionales en los reales.

¿Existe una prueba más sencilla?

Answer 2

Creo que el teorema 3.2.11 del libro Campos valorados de Antonio J. Engler y Alexander Prestel, Springer, 2005, puede ser útil.