Espacio de Hilbert del oscilador armónico: ¿Contable o incontable?

Question

Hm, esto se me acaba de ocurrir mientras respondía a otra pregunta:

Si escribo el Hamiltoniano de un oscilador armónico como $$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$$ entonces un conjunto de posibles estados base no sería el conjunto de $\delta$ -funciones $\psi_x = \delta(x)$ y eso indica que el tamaño de mi espacio de Hilbert es el de $\mathbb{R}$ .

Por otro lado, todos sabemos que podemos diagonalizar $H$ pasando a los estados de número de ocupación, por lo que el espacio de Hilbert sería $|n\rangle, n \in \mathbb{N}_0$ por lo que ahora el tamaño de mi espacio de Hilbert es el de $\mathbb{N}$ en su lugar.

Está claro que ambos no pueden tener razón, así que ¿dónde está el fallo de mi lógica?

Answer 1

Esta pregunta me la planteó por primera vez un amigo mío; por las sutilezas que conlleva, me encanta esta pregunta. :-)

El "fallo" es que no estás contando la dimensión con cuidado. Como han señalado otras respuestas, $\delta$ -las funciones no son válidas $\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$ por lo que necesitamos definir una función kosher que dé el $\delta$ -función como caso límite. Esto se hace esencialmente considerando un Regulador UV para sus funciones de onda en el espacio. Resolvamos el problema más sencillo de la "partícula en una caja", en una red. La respuesta para el oscilador armónico será conceptualmente la misma. También hay que tener en cuenta que la resolución del problema en un entramado de tamaño $a$ se asemeja a considerar funciones rectangulares de anchura $a$ y el área de la unidad, como versiones reguladas de $\delta$ -funciones.

El corte UV (menor resolución de posición) se convierte en el máximo momento posible para la función de onda de la partícula y el corte IR (aproximadamente la máxima anchura de la función de onda que corresponderá al tamaño de la caja) da el mínimo momento cuántico y por tanto la diferencia entre niveles. Ahora puedes ver que el número de estados (finito) es el mismo en base a la posición y en base al momento. La sutileza es cuando se toma el límite de la pequeña separación de la red. Entonces el momento máximo llega al "infinito" mientras que la resolución de posición llega a cero -- ¡pero los estados en base de posición siguen siendo contables!

En el caso del oscilador armónico, la dispersión del estado básico (dispersión máxima) debería corresponder al cuanto de momento, es decir, al tamaño de la red en el espacio de momento.

La intuición física

Cuando consideramos el conjunto de posibles funciones de onda, necesitamos que sean se comportó razonablemente es decir, sólo un número contable de discontinuidades. En efecto, estas funciones sólo tienen un número contable de grados de libertad (a diferencia de las funciones que pueden tener un comportamiento muy malo). Según creo, ésta es una de las condiciones necesarias para que una función sea transformable de Fourier.

ADDENDUM: Ver la respuesta de @tparker para una buena explicación con un tratamiento ligeramente más riguroso que justifica por qué las funciones de onda sólo tienen grados de libertad contables.

Answer 2

1. El Espacio de Hilbert ${\cal H}$ del oscilador armónico unidimensional en la representación de posición es el conjunto $L^2(\mathbb{R})={\cal L}^2(\mathbb{R})/{\cal N}$ (de clases de equivalencia) de funciones cuadradas integrables $\psi:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ en la línea real. La relación de equivalencia es modulo funciones medibles que se desvanecen a.e.

2. El Distribución delta de Dirac $\delta(x-x_{0})$ es no una función. Es una distribución . En particular, es no integrable al cuadrado, cf. este Puesto de Phys.SE.

3. Se puede probar que todas las dimensiones infinitas separable los espacios complejos de Hilbert son isomorfos al conjunto $${\ell}^{2}(\mathbb{N})~:=~\left\{(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\mid\sum_{n\in\mathbb{N}} |x_n|^2 <\infty\right\}$$ de secuencias complejas cuadradas integrables.

Answer 3

Las respuestas anteriores son todas correctas, pero he pensado en dar una explicación más conceptual de por qué la base de la función delta es la base "incorrecta" en la que expandirse cuando se cuentan los grados de libertad. Dado que la situación es mucho, mucho más complicada en la QFT, por simplicidad sólo consideraré las funciones de onda cuantificadas en primer lugar para un sistema con un número fijo y finito de partículas, de modo que el espacio de configuración es simplemente $\mathbb{R}^n$ para un número finito de $n$ . (Si no sabes lo que es el "espacio de configuración", lo único que realmente importa para esta pregunta es que para un sistema de una sola partícula, es lo mismo que el espacio real).

Los físicos suelen decir que para estos sistemas, "el espacio de Hilbert $L^2(\mathbb{R}^n)$ es el espacio de las funciones cuadradas integrables en $\mathbb{R}^n$ con el producto interno $\langle f | g \rangle := \int_{\mathbb{R}^n} d^nx\ f^*({\bf x})\, g({\bf x}). $ " Pero esta definición es errónea, ¡porque en realidad no es un producto interno válido en ese espacio! El problema es que viola el requisito de definición positiva del producto interior que $||\psi|| = 0 \implies | \psi \rangle = 0$ Si una función $f$ se apoya en un conjunto no vacío de medida Lebesgue cero, entonces la "norma" $\int_{\mathbb{R}^n} d^nx\ |f({\bf x})|^2 = 0$ . Como esta "norma" es cero para algunos vectores no nulos, es más propiamente sólo una Seminorma en el espacio de las funciones cuadradas-integrables en $\mathbb{R}^n$ . Este espacio de funciones se denomina $\mathcal{L}^2(\mathbb{R}^n)$ (nótese el guión diferente para el " $\mathcal{L}$ ") y, por lo tanto, es sólo una espacio vectorial seminormalizado .

Para convertir $\mathcal{L}^2(\mathbb{R}^n)$ en un verdadero espacio de Hilbert, necesitamos modifícalo por el espacio vectorial de las funciones cuyo soporte tiene medida de Lebesgue cero. En otras palabras, definimos una relación de equivalencia $f \sim g$ entre funciones $f({\bf x})$ y $g({\bf x})$ que coinciden en casi todas partes, y luego definir el espacio de Hilbert $L^2(\mathbb{R}^n)$ para ser el espacio de clases de equivalencia bajo esta relación de equivalencia. Así que dos funciones cuadradas-integrables $\psi({\bf x})$ y $\phi({\bf x})$ que son iguales en casi todas partes, pero que difieren en un conjunto de medida de Lebesgue cero, corresponden en realidad a la exactamente el mismo estado $|\psi\rangle$ en el espacio de Hilbert. Esto soluciona el problema, porque ahora todas esas funciones problemáticas cuyo soporte tiene medida de Lebesgue cero corresponden al vector cero del espacio de Hilbert, por lo que está bien que tengan norma cero.

Esto es algo más que un truco técnico que sólo se realiza para satisfacer la definición matemática de un producto interior: en realidad es lo que hay que hacer físicamente. Recuerde que el valor de $|\psi({\bf x})|^2$ en un punto determinado ${\bf x}$ no es realmente una probabilidad - es una probabilidad densidad que no es una cantidad directamente física. No se puede medir directamente la densidad de probabilidad en un solo punto; sólo se puede medir la probabilidad $P(V) = \int_V d^nx\, |\psi({\bf x})|^2$ para que una partícula se encuentre en un (potencialmente muy pequeño) región $V$ . Pero si dos funciones de onda $\psi, \phi \in \mathcal{L}^2(\mathbb{R}^n)$ sólo difieren en un conjunto de medida de Lebesgue cero, entonces $P(V) = \int_V d^nx\, |\psi({\bf x})|^2 = \int_V d^nx\, |\phi({\bf x})|^2$ será el mismo para cualquier región $V$ . Por lo tanto, todas las magnitudes físicamente medibles serán las mismas para estas dos funciones de onda, por lo que corresponden al mismo estado físico $| \psi \rangle \in L^2(\mathbb{R}^n)$ .

El punto de todo esto es que cualquier función de onda $\psi({\bf x})$ contiene un montón de información adicional, no física (más allá del factor de fase general, al que probablemente estés acostumbrado). Cambiar su valor en cualquier conjunto de puntos de medida de Lebesgue cero no cambia realmente el estado. La base de la función delta (incontable) es demasiado "fina" y selecciona todos estos grados de libertad irrelevantes. La base (contable) oscilador-estado propio, en cambio, es mucho menos sensible a los detalles de la función de onda: cambiar $\psi({\bf x})$ en cualquier conjunto de medida de Lebesgue cero no cambia ninguno de los coeficientes de expansión $\langle \psi_n | \psi \rangle$ . Por tanto, estos coeficientes sólo registran información sobre los grados de libertad físicos, de los que sólo hay un número contable.

Por cierto, el espacio de Hilbert $L^2 \left( \mathbb{R}^d \right)$ es la misma para la partícula libre que para el oscilador armónico, por lo que todo lo dicho en esta respuesta se traslada directamente al pregunta de acompañamiento sobre el espacio de Hilbert de las partículas libres.

Answer 4

Hay que tener cuidado con lo que se entiende por "tamaño" de un espacio vectorial.

Un teorema del análisis funcional nos dice que dos bases de Hilbert cualesquiera para un espacio de Hilbert deben tener la misma cardinalidad. Esto nos permite definir el Dimensión de Hilbert de un espacio de Hilbert como la cardinalidad de cualquier base de Hilbert.

El espacio de Hilbert para el oscilador armónico unidimensional es $L^2(\mathbb R)$ . Sabemos que existe al menos una base ortonormal contable para $L^2(\mathbb R)$ . Es la base que comúnmente llamamos $\{|0\rangle, |1\rangle, \dots\}$ cuando se habla de la física del oscilador. Por lo tanto, la dimensión de Hilbert de $L^2(\mathbb R)$ es $\aleph_0$ .

Los deltas de Dirac no son elementos de $L^2(\mathbb R)$ Por lo tanto, no hay ninguna contradicción.