Para todos los $n>2$: existe $p$ primer: $n<p<n!$

Question

La pregunta es:

Para todos los $n>2$ donde $n \in \mathbb Z$: existe $p$ primer tales que $n<p<n!$

Aquí está mi Prueba:

$\forall$ $p<n: p|n!$, o $p$ divide $n!$

Desde $n!$ $n!-1$ son relativamente primos

$=>$ $n!$ y $n!-1$ cuota comunes divisores

$=>$ debe haber un primer $p > n$ tal que $p | (n!-1)$

Me siento como debería aclararse más. Qué más puedo agregar? Gracias de antemano!

Answer 1

A mí me parece correcto, y yo no añadir mucho más. Puede que desee agregar que $n!-1 > 2$, sólo en el caso.

Por supuesto, el nivel de precisión necesario en un argumento depende de con quién está hablando y en qué circunstancias: un trabajo de investigación sería, sin duda, tomar las cosas tal como este problema por sentado, mientras que en una de las tareas de este nivel de precisión debe ser la adecuada.

Una mucho más fuerte afirmación es verdadera. Se llama Bertrard del postulado, y dice que para cualquier $n \geq 2$ usted puede encontrar un primer $p$ tal que $n < p < 2n$.

Answer 2

Otra posible prueba:

Deje $S=\{ x \in \mathbf{Z^+} : n<x<n! \text{ and for every prime divisor } d \text{ of } x ,d \leq n \}$ . Desde $(n!-1) \in S$ , el principio de orden implica que existe un mínimo elemento en $S$ , llama $n_0$ . Esta $n_0$ es primo.