He aquí una respuesta para la pregunta 1. que tiene dos partes:
a) [Un ejemplo de una] de Banach *-álgebra que no es una C*-álgebra para el cual existe un lineal positiva funcional ($x^*x$ a los números de $ \geq 0$) que no es norma continua.
Hasta donde yo sé todas "explícito" contraejemplos se basan en Dixon de la construcción, y son bastante complicados. En 1982 H. G. Dales probado:
Hay una Banach *-álgebra con una norma-discontinuo de seguimiento, es decir, una lineal positiva funcional $\tau$ tal que $\tau(ab) = \tau(ba)$ todos los $a,b \in A$.
Véase el Ejemplo 4 de H. G. Valles, La Continuidad de las Huellas, en Radical álgebras de Banach y automática de la continuidad, Notas de la Conferencia en Matemáticas, 975, Springer Verlag, (1982), 451-458. Para comprender la construcción en que el artículo que usted necesitará una copia del P. G. Dixon del papel, No separables álgebras de Banach, cuyas plazas son patológicos, J. Análisis Funcional, 26 (1977), 190-200.
Observación. Que este ejemplo debe ser bastante complicado no es realmente sorprendente, ya que es imposible "escribir" un discontinua lineal mapa, y es, obviamente, aún más difícil de escribir una discontinuo lineal mapa de satisfacciones más restricciones algebraicas: discontinuo lineal mapa necesariamente implica el axioma de elección, de una forma fuerte, por ejemplo, la existencia de bases algebraicas, ya que es consistente con ZF+DC que todos lineal mapas entre espacios de Banach son continuas. De hecho, la (no)existencia discontinua homomorphisms en $A = C(K)$ es independiente de la habitual de los axiomas de la teoría de conjuntos, véase también Andrés Caicedo de la respuesta aquí.
b) al Parecer, si una de Banach *-álgebra tanto que aún tiene una limitada aproximado de identidad, entonces todos lineal positiva funcionales son continuas. ¿Alguien tiene una prueba de esto?
Sí. De manera más general, el Teorema de 5.5.10 en la página 698 de H. G. Valles, Álgebras de Banach y Automática de la Continuidad de los estados, el automático de la continuidad de un lineal positiva funcional en un álgebra de Banach con una no necesariamente continua involución y una limitada aproximado a la izquierda de la identidad. He aquí un resumen del argumento, en el caso más sencillo de un isométrico de la involución:
Supongamos que $A$ es una de Banach *-álgebra con una limitada aproximado de identidad.
Podría decirse que el más importante resultado automático de la continuidad de la teoría es el de Cohen-Hewitt teorema de factorización. En una de sus formas más básicas puede ser formulada de la siguiente manera:
Deje $A$ ser un álgebra de Banach con una limitada aproximado a la izquierda de la identidad $(u_i)_{i \in I}$ y deje $M$ ser una izquierda de Banach $A$-módulo. Para $m \in M$ los siguientes son equivalentes:
Hay $a \in A$ $n \in M$ tal que $m = an$
$\lim_{i} \lVert u_i m - m\rVert = 0$.
Un corto de prueba (muy cerca de Hewitt argumento) se puede encontrar en Cigler–Losert–Michor, de Banach y módulos de functors en categorías de espacios de Banach, el Teorema III.1.15 en la página 108 (están asumiendo que la aproximación de la identidad está en la unidad de la bola de $A$ pero la prueba es fácil de adaptar a la afirmación más general).
A lo largo del tiempo el teorema de factorización ha sido afilado de muchas maneras y todo libros fueron escritos al respecto: R. S. Doran, J. Wichmann Aproximado de las Identidades y de la Factorización de Banach Módulos. Véase también el Capítulo 2 de los Valles integral de Álgebras de Banach y Automática de la Continuidad.
Algunos comentarios adicionales:
Si todos los $m \in M$ satisface las condiciones del teorema de factorización, a continuación, $M$ se llama esencial $A$-módulo.
Desde la definición de un aproximado de identidad es propiedad 2. para todos los $a \in A$ al $A$ es considerado como una izquierda $A$-módulo, una consecuencia inmediata del teorema es que todos los $a \in A$ factores $a = bc$. Para $A = L^1(G)$ esto es de Cohen forma original del teorema de factorización.
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Un sencillo lema esenciales módulos de $M$ es que el espacio $c_0(M) = c_0(\mathbb{N},M)$ null secuencias en $M$ con la norma $\lVert (m_n)_{n \in \mathbb{N}}\rVert_{c_0(M)} = \sup_{n \in \mathbb{N}} \lVert m_n \rVert_M$ es un elemento esencial del módulo (compruebe que la propiedad 2. es satisfecho por $c_0(M)$). Esto implica que cada null secuencia $m_n \to 0$ $M$ puede ser factorizado como $m_n = a x_n$$a \in A$$x_n \to 0$$M$.
[Por cierto, esto puede ser usado para mostrar que un derecho $A$-lineal mapa de $\varphi\colon A \to N$ a un derecho de Banach $A$-módulo automáticamente continua mediante la observación de que $a_n \to 0$ implica $a_n = ab_n$$b_n \to 0$, de modo que $\varphi(a_n) = \varphi(a)b_n \to 0$.]
La prueba de continuidad lineal positiva funcionales en una de Banach *-álgebra con una limitada aproximado de identidad, ahora es relativamente fácil:
Recordar la de Cauchy-Schwarz desigualdad lineal positiva funcionales $f$:
$$
\lvert f(ab^\ast)\rvert \leq f(aa^\ast) \cdot \sqrt{\rho(bb^\ast)},
$$
para todos los $a, b \in A$ donde $\rho(x) = \lim_{n\to\infty} \lVert x^n\rVert^{1/n}$ es el radio espectral de $x \in A$.
Se sigue de esto que $x \mapsto f(a x a^\ast)$ es continua para todos los $a \in A$ e lo $x \mapsto f(ax b^\ast)$ es continua para todos los $a,b \in A$.
Ahora vamos a $x_n \to 0$. Queremos mostrar que $f(x_n) \to 0$. Por el teorema de la factorización de (nota 3. arriba), podemos escribir la $x_n = a c_n$$c_n \to 0$. Ahora $c_n^\ast \to 0$, así que podemos escribir $c_n^{\ast} = b d_n$$d_n \to 0$. Por lo tanto, $x_n = a d_n^\ast b^\ast$$d_n \to 0$, lo $f(x_n) = f(a d_n^\ast b^\ast) \to 0$, como se desee.
