Computable Criterios para comprobar si una determinada base es una Base de Gröbner

Question

En un examen próximo que tenemos que hacer Gröbnber-Base de cálculo con el algoritmo de Buchberger. Un ejemplo típico se parece a esto:

$$ \langle f_1,f_2 \rangle $$

Entonces me calcular el S-Polinomio $S(f_1,f_2)$. La mayoría del tiempo $S(f_1,f_2)$ es una fea expresión así que el uso de las combinaciones lineales de $\langle f_1, f_2, S(f_1,f_2)\rangle$ y obtener una nueva representación del ideal con buen polinomios $\langle f_1',f_2',f_3' \rangle$.

Ahora, tengo que reiniciar el algoritmo de Buchberger porque me han cambiado la representación ideal y calcular el $S(f_1',f_2'), S(f_1',f_3') \dots$. Usualmente $\langle f_1',f_2',f_3' \rangle$ es válido Gröber base ya. Pero para calcular los tres (o más) de los S-Polinomios lleva un montón de tiempo. Es que hay un fast (computable) criterios para comprobar si una determinada base es ya un Gröbner-Base y para anular el cálculo?

Answer 1

Dado que los generadores $f_1, \dots, f_n$ por un ideal $I$, puede reducir cada una de las $S$-polinomio $S(f_i, f_j)$$f_1, \dots, f_n$. Reducir significa aquí repetidamente la cancelación de término del grado más alto de $S(f_i, f_j)$ (en lo que sea admisible monomio pedido que esté utilizando), restando un adecuado múltiplo de uno de los $f_k$ (es decir, multiplicar por $f_k$ por algunos monomio tal que sus más altas condiciones de igualdad que de $S(f_i, f_j)$ y restar; repetir hasta que el líder plazo de lo que queda de $S(f_i, f_j)$ no es un múltiplo de la líder de término de cualquiera de las $f_k$). Si todos los $S$ polinomios reducir a 0, el original de los generadores de forma de un Gröber base ya.

De hecho, esta es la forma en que generalmente calcular un Gröber base: usted mantenga la adición de reducciones de $S$-polinomios para el conjunto de los generadores hasta que todos ellos se reducen a 0. (Y entre a simplificar los generadores reduciendo el uso de un recién calculada reducción de un $S$-polinomio).