¿Por qué es el inradius de cualquier triángulo en más de la mitad de su circunradio?

Question

Es allí cualquier manera geométrica simple razón de por qué la inradius de un triángulo debe estar a más de la mitad de su circunradio? Me acaban de querer que el hecho de que esta respuesta.

Yo sé de dos pruebas de este hecho.

Prueba 1:

La radio de los nueve puntos del círculo es la mitad de la circunradio. Feuerbach teorema establece que la circunferencia inscrita es internamente tangente a las nueve en punto del círculo, y por lo tanto tiene un menor radio.

Prueba 2:

El Steiner inellipse es el inconic con el área más grande. El Steiner circumellipse es el circumconic con el área más pequeña, y tiene 4 veces el área de la Steiner inellipse. Por tanto, la circunferencia circunscrita tiene al menos 4 veces el área de la circunferencia inscrita.

Estos dos se sienten tipo de sledgehammerish a mí; yo sería más feliz si hubiera alguna buena Euclidiana geometría de la prueba (o una manera de convencerme de que no hay tal cosa es probable que existan, por lo que el mazo es necesario).

EDITAR para facilitar futuras búsquedas: internet me dice que esto es a menudo conocido como "Euler del triángulo de la desigualdad".

Answer 1

Prueba #1 puede ser modificado para ser completamente primaria.

En primer lugar, es fácil mostrar que la circunferencia inscrita es el círculo más pequeño, tocando todos los 3 lados. El círculo que pasa por los puntos medios (los nueve puntos del círculo) que, obviamente, ha circunradio la mitad que el de un círculo más grande. No hay necesidad de invocar el teorema de Feuerbach para esto.

Saludos,

Rofler

Answer 2

Calcular el área de un triángulo (primer método):

Considere el siguiente diagrama:

$\hspace{4.5cm}$

El área del triángulo verde es $$ A=\tfrac12ab\sin(\theta)\etiqueta{1} $$ Por el Teorema del Ángulo Inscrito, el ángulo que $c$ subtienda en el origen, $o$$2\theta$. Por lo tanto, tenemos que $$ c=2R\sin(\theta)\etiqueta{2} $$ La combinación de $(1)$ $(2)$ rendimientos $$ 4AR=abc\etiqueta{3} $$ Calcular el área de un triángulo (segundo método):

Considere el siguiente diagrama:

$\hspace{4.5cm}$

Tenga en cuenta que las áreas de la roja ($\color{#C00000}{\triangle iyz}$), verde ($\color{#00A000}{\triangle izx}$), y azul ($\color{#0000FF}{\triangle ixy}$) los triángulos se $\frac12r$ veces $a$, $b$, y $c$, respectivamente. Por lo tanto, obtenemos $$ 2A=r(a+b+c)\etiqueta{4} $$

Calcular $d$:

Traducir el circuncentro, $o$ $\triangle xyz$ a la de origen. Entonces $$ |x|=|y|=|z|=R\etiqueta{5} $$ Además, el uso de $a=|y-z|$, $b=|z-x|$, y $c=|x-y|$, obtenemos $$ \begin{align} 2y\cdot z&=2R^2-a^2\\ 2z\cdot x&=2R^2-b^2\\ 2x\cdot y&=2R^2-c^2 \end{align}\etiqueta{6} $$ Como se mencionó anteriormente, las áreas de la roja ($\color{#C00000}{\triangle iyz}$), verde ($\color{#00A000}{\triangle izx}$), y azul ($\color{#0000FF}{\triangle ixy}$) los triángulos son proporcionales a $a$, $b$, y $c$, respectivamente. Por lo tanto, la baricéntrico coordenadas del incentro, $i$, son la media de los vértices ponderado por las longitudes de los lados opuestos: $$ i=\frac{ax+by+cz}{a+b+c}\etiqueta{7} $$ y por lo tanto, el uso de $(3)$-$(7)$ los rendimientos que $d$, la distancia entre el incentro y circuncentro, satisface $$ \begin{align} d^2 &=\frac{a^2R^2+b^2R^2+c^2R^2+2abx\cdot y+2bcy\cdot z+2caz\cdot x}{(a+b+c)^2}\\ &=\frac{a^2R^2+b^2R^2+c^2R^2+ab(2R^2-c^2)+bc(2R^2-a^2)+ca(2R^2-b^2)}{(a+b+c)^2}\\ &=\frac{(a+b+c)^2R^2-(a+b+c)abc}{(a+b+c)^2}\\ &=R^2-\frac{abc}{a+b+c}\\[4pt] &=R^2-2Rr\\[6pt] &=R(R-2r)\tag{8} \end{align} $$ Desde $d^2\ge0$, e $R>0$, nosotros inmediatamente $$ r\le\tfrac12R $$

Answer 3

La expansión en Rofler la respuesta, sólo por lo que habrá un argumento completo aquí:

Considere el círculo que cumple con los puntos medios de los tres lados (este es el secreto de 9 puntos de círculo, pero no necesitamos saber que para terminar este argumento). Se circunscribe a un triángulo que es semejante al triángulo de referencia y escala por $\frac{1}{2}$. Por lo tanto su radio es la mitad del circunradio.

Para demostrar que el radio de los nueve puntos del círculo es más grande que el inradius de el triángulo de referencia, la primera de traducir en su favorito de dirección hasta que la primera vez que se hace tangente a un triángulo de lado. A continuación, deslice a lo largo de ese lado del triángulo hasta la primera vez que se hace tangente a otro triángulo de lado. El resultado será un círculo que es tangente a dos lados del triángulo de referencia y se cruza con el tercero, y de cualquier círculo claramente debe ser al menos tan grande como la de la circunferencia inscrita.