Isomorfismo en la localización (producto tensor)

Question

Deje $A$ ser un anillo conmutativo con $1$ y deje $M,N$ $A$- módulos.

Ya que no hay un mapa de $f: A \rightarrow S^{-1}A$, definido por $a \mapsto \frac{a}{1}$, entonces, dado cualquier $S^{-1}A$-módulo podemos ver como un $A$ módulo a través de la restricción de escalares derecho?

Ahora $S^{-1}M$ $S^{-1}N$ $S^{-1}A$- módulos.

Mi pregunta es si el siguiente isomorfismo se mantiene?

$S^{-1}M \otimes_{A} S^{-1}N \cong S^{-1}M \otimes_{S^{-1}A} S^{-1}N$

Es el de arriba válida porque cualquier $S^{-1}A$ módulo es una $A$-módulo o ¿por qué? (o quizás es falso), puede usted por favor ayuda?

Siguiente de Daniel sugerencia:

$S^{-1}(M \otimes_{Un} N) \cong S^{-1} \otimes_{A} (M \otimes_{Un} N) \cong (S^{-1} \otimes_{S^{-1}}) (S^{-1} \otimes_{A} (M \otimes _{Un} N) )$

Después de esto me terminan con $(S^{-1}A \otimes _{S^{-1}A} N) \otimes_{A} S^{-1}M$ que es isomorfo a $S^{-1}N \otimes_{A} S^{-1}M$. ¿Dónde está el error?

Answer 1

Felicitaciones por haber notado este punto sutil, rara vez se discute en los libros de texto.
Como es a menudo el caso, una declaración más general es más clara; por su pregunta tome $P=S^{-1}M, Q=S^{-1}N$ en los siguientes
Declaración General Supongamos $P,Q$ $S^{-1}A$- módulos. Luego hay un canónica $S^{-1}A$- isomorfismo $P \otimes _A Q\to P \otimes_ {S^{-1}A} Q$

Observación preliminar de Una $A$-módulo de $E$ puede tener en la mayoría de $one$ $S^{-1}A$-estructura del módulo compatible con su $A$-estructura del módulo.
La prueba de la observación Preliminar: se debe tener $\frac{a}{s} \ast e = (s\bullet)^{-1} (ae)$ (La existencia de una $S^{-1}A$-módulo de estructura en $E$ fuerzas de la multiplicación por $s$ $A$- lineal automorphism $(s\bullet)$ de la $A$-módulo de $E$)

La prueba de la declaración General de La observación preliminar muestra que el $S^{-1}A$-módulo de estructuras en $P \otimes_A Q$ proveniente de $P$ o de $Q$ coinciden. Por lo tanto, no son canónicos ${S^{-1}A}$- morfismos
$P \otimes _A Q\to P \otimes_ {S^{-1}A} Q: p\otimes q\mapsto p\otimes q$ y
$P \otimes_ {S^{-1}A} Q \to P \otimes _A Q\ : p\otimes q\mapsto p\otimes q$ que son mutuamente inversas $S^{-1}A$- isomorphisms ; esto demuestra la declaración General.