Subgrupos normales de $S_4$

Question

Puede alguien decirme cómo encontrar todos los subgrupos normales del grupo simétrico $S_4$ ?

En particular son $H=\{e,(1 2)(3 4)\}$ y $K=\{e,(1 2)(3 4), (1 3)(2 4),(1 4)(2 3)\}$ ¿subgrupos normales?

Answer 1

En cualquier grupo, un subgrupo es normal si y sólo si es una unión de clases de conjugación.

En $S_n$ Las clases de conjugación son muy fáciles: una clase de conjugación consiste exactamente en todas las permutaciones de una estructura de ciclo dada. Estas corresponden a todas las posibles particiones de $n$ .

Por lo tanto, considere $S_4$ . Las clases de conjugación en $S_4$ son:

1. La clase del $4$ -ciclos, estructura del ciclo $(abcd)$ correspondiente a la partición $4$ . Hay $6$ elementos de esta clase.
2. La clase del $3$ -ciclos, estructura del ciclo $(abc)(d)$ correspondiente a la partición $3+1$ . Hay $8$ elementos de esta clase.
3. La clase del producto de dos transposiciones, estructura del ciclo $(ab)(cd)$ correspondiente a la partición $2+2$ . Hay $3$ elementos de esta clase.
4. La clase las transposiciones, estructura del ciclo $(ab)(c)(d)$ correspondiente a la partición $2+1+1$ . Hay $6$ elementos de esta clase.
5. La clase de la identidad, estructura del ciclo $(a)(b)(c)(d)$ correspondiente a la partición $1+1+1+1$ . Hay un solo elemento en esta clase.

Ahora, cualquier subgrupo que contenga todas las transposiciones es el grupo completo.

Así que podemos considerar sólo los subgrupos que no contienen las transposiciones. Su orden debe ser un divisor de $24$ y como no tiene las transposiciones, es como máximo $12$ . Así que el orden debe ser $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ o $12$ . Además, el orden debe ser la suma de los tamaños de algunas clases de conjugación, por lo que debe ser una suma de algunos de los números $1$ , $3$ , $8$ y $6$ y debe incluye $1$ .

Una posibilidad es el grupo trivial, de orden $1$ . No podemos obtener un subgrupo normal de órdenes $2$ o $3$ (en particular, usted $H$ no puede ser normal). La única manera de obtener un subgrupo de orden $4$ es tomar la clase de la identidad y la clase del producto de dos transposiciones. Esto es su $K$ si es un subgrupo, entonces ser una unión de clases de conjugación muestra que es normal. Así que sólo hay que comprobar si es un subgrupo.

No podemos obtener un subgrupo normal de orden $6$ porque no podemos tomar la clase de conjugación de $4$ -ciclos (necesitamos la identidad). En cuanto a un subgrupo de orden $12$ tendríamos que tomar la identidad ( $1$ ), la clase de productos de dos transposiciones ( $3$ elementos), y la clase de $3$ -ciclos ( $8$ elementos). Esta colección tiene un nombre muy familiar...

Y eso es todo. No se puede tener ningún otro subgrupo normal. Así que, en resumen: el grupo trivial, el grupo entero, y posiblemente $K$ (si es un subgrupo), y posiblemente esta última colección (si resulta ser un subgrupo). Como máximo $4$ Al menos $2$ .

Answer 2

Como sugiere Babak Sorouh, la respuesta puede encontrarse fácilmente utilizando GAP utilizando el SONATA biblioteca. Este es el código:

G:=SymmetricGroup(4);
S:=Filtered(Subgroups(G),H->IsNormal(G,H));
for H in S do
  Print(StructureDescription(H),"\n");
od;

Para no estropear la respuesta de Arturo Magidin, aquí está la salida si reemplazo G:=SymmetricGroup(4); con G:=DihedralGroup(32); (el grupo diédrico de orden $32$ )

1
C2
C4
C8
D16
D16
C16
D32