Número medio de fracasos antes del éxito

Question

Por el título, debes pensar instantáneamente que lo que busco es una distribución de probabilidad geométrica (o quizás binomial, por la historia de abajo), pero mi estadística me falla. Permítanme poner esto como una historia:

Un oficinista recibe 13 números de teléfono de asistencia técnica. Cada número de teléfono se comunicará con un solo agente de soporte. Cada agente está especializado en su propio campo. El oficinista no sabe de antemano qué agente puede responder a cada pregunta.

Cuando tienen una consulta, empiezan a llamar a los números uno por uno, en un orden aleatorio y no repetitivo. Se detienen cuando han llegado al número correcto. Está garantizado que su consulta será respondida por un solo agente de asistencia.

¿Cuál es el número medio de llamadas que debe realizar el trabajador? Es decir, ¿cuál es el número medio de fracasos antes de tener un solo éxito?

Si lo intento con la distribución geométrica, tengo p = 1/13. El número de fracasos antes de un éxito es k = {0,1,2,3..12}, ya que hay una probabilidad de 1/13 de obtener un éxito en el primer ensayo. La media se define como (1-p)/p = 12. Esto se traduce en "El número medio de llamadas que se espera que haga el trabajador es de 12". Esto parece excesivamente alto. ¿Es esto correcto?

Gracias.

Answer 1

No estoy de acuerdo con la respuesta dada por @probabilityislogic. Aquí no hay ninguna distribución geométrica, truncada o no.

Uno de los 13 agentes puede responder a la pregunta. El trabajador llama a los agentes uno por uno hasta que llega al agente que puede responder a la pregunta. Numeremos los agentes como $1$ , $2, \ldots, 13$ en el orden en que son llamados. A falta de otra información, presumo que el agente que puede responder a la pregunta tiene la misma probabilidad de ser cualquiera de $1$ , $2, \ldots, 13$ por lo que el número medio de llamadas es $7$ . El siguiente La pregunta puede hacer que los agentes sean llamados en un orden diferente, pero la identidad del agente también puede ser diferente, por lo que se aplica el mismo análisis.

Escenario alternativo a considerar: todas las preguntas son sobre el mismo tema y pueden ser respondidas por un solo agente, pero el trabajador, al ser lento en el aprendizaje, no se da cuenta de esto, y llama a los agentes en orden aleatorio cada vez que llega una pregunta. Así que el agente que va a responder es alcanzado en la primera, segunda, ...., decimotercera llamada con igual probabilidad, y otra vez, $7$ llamadas son necesarias por término medio.

Nota añadida: La simulación de @thias (véase el comentario a la respuesta de probabilityislogic) confirma mi análisis.

Answer 2

Lo que necesitas es una distribución geométrica truncada. La distribución geométrica habitual tiene un soporte de $0,1,\dots$ (es decir, hasta el infinito) mientras que el tuyo sólo tiene soporte hasta $12$ .

Así que hay que renormalizar el pdf.

$$Pr(X=x|p)=Ap(1-p)^x\implies A^{-1}=\sum_{x=0}^{12}p(1-p)^x=1-(1-p)^{13}$$ $$\implies Pr(X=x|p)=\frac{p(1-p)^x}{1-(1-p)^{13}}$$

Ahora tomamos las expectativas sobre este pdf (dejando $q=1-p=\frac{12}{13}$ ):

$$E(X|p)=\frac{p}{1-q^{13}}\sum_{x=0}^{12}xq^x$$ $$=\frac{pq}{1-q^{13}}\sum_{x=0}^{12}\frac{\partial}{\partial q}q^{x} =\frac{pq}{1-q^{13}}\frac{\partial}{\partial q}\sum_{x=0}^{12}q^{x}=\frac{pq}{1-q^{13}}\frac{\partial}{\partial q}\frac{1-q^{x+1}}{1-q}$$ $$=\frac{pq}{1-q^{13}}\frac{1-q^{12}-12q^{12}(1-q)}{(1-q)^2}$$ $$=\frac{q}{1-q}\times\frac{1-q^{12}-12q^{12}(1-q)}{1-q^{13}}=12\times 0.43=5.13$$

Este último factor representa una corrección de la media habitual, debido a la restricción de alcance. Para el caso más general, tenemos (de nuevo dejando $q=1-p$ la posibilidad de fracasar):

$$Pr(X=x|N,q)=\frac{(1-q)q^x}{1-q^{N+1}}\;\;\;\;\;\;\;\;x\in\{0,1,\dots,N\}$$ $$E(X|q,N)=\frac{q}{1-q}\times\frac{1-q^{N}-Nq^{N}(1-q)}{1-q^{N+1}}$$

Ambos contienen la distribución geométrica habitual como límites apropiados como $N\to\infty$

ACTUALIZACIÓN

Esta respuesta supone en realidad que todos los $13$ los operadores podrían ser llamados en cualquiera de las pruebas. Por lo tanto, el $p$ se mantiene constante. Sin embargo, como señala correctamente Dilas, la distribución adecuada es uniforme. Se puede ver esto por "conteo directo", la probabilidad de acertar en la primera llamada es $\frac{1}{13}$ y la probabilidad de acertar en la segunda llamada es $(1-\frac{1}{13})\frac{1}{12}=\frac{1}{13}$ (la segunda prueba es $\frac{1}{12}$ porque el operador no volverá a llamar a la primera persona que llame). Para el caso general tenemos un "producto telescópico":

$$Pr(X=x|N)=\frac{1}{N+1-x}\prod_{j=0}^{x-1}(1-\frac{1}{N+1-j})=\frac{1}{N+1-x}\prod_{j=0}^{x-1}\frac{N-j}{N+1-j}=\frac{1}{N+1}$$

Esto da el valor esperado de $7$