¿Cómo demostramos que $\mathbb{C}^{\times}$ y $S^{1}$ son isomorfos como grupos?
Respuestas
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En primer lugar, hay que tener en cuenta que los grupos aditivos de $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ son isomorfos, ya que $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ tienen la misma dimensión que los espacios vectoriales sobre $\mathbb{Q}$ .
En particular, existe un isomorfismo de grupo $\varphi\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ tal que $\varphi(1) = (1,0)$ . Entonces $\varphi(\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}\times\{0\}$ Así que $$ S^1 \;\cong\; \mathbb{R}/\mathbb{Z} \;\cong\; \mathbb{R}^2/(\mathbb{Z}\times\{0\}) \;\cong\; S^1\times\mathbb{R} \;\cong\; \mathbb{C}^\times. $$
Nir
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Todo grupo abeliano divisible es igual a la suma directa de su parte de torsión y de un $\mathbb Q$ -espacio vectorial : $$A=Tors(A) \oplus V$$
En la situación que nos ocupa, la parte de torsión de ambos grupos en estudio es el grupo denumable $\mu_\infty (\mathbb C)$ de raíces de la unidad y deducimos $$\mathbb C^\times= \mu_\infty (\mathbb C)\oplus V \quad \quad S^1= \mu_\infty (\mathbb C) \oplus W $$ Ya que por razones de cardinalidad $V$ y $W$ tienen dimensión continua, son isomorfos y también lo son nuestros grupos $\mathbb C^\times$ y $ S^1$ .
Terminología En la notación multiplicativa, un elemento $a\in A$ de un grupo abeliano se dice que es de torsión si $a^n=1$ para algún número entero positivo $n$ .
Nota: La respuesta de Jim tiene el encanto de ser directa y hábil. Sin embargo, a algunos usuarios les puede gustar el hecho de que la presente solución es una simple aplicación del teorema de la estructura general para grupos abelianos divisibles. Ese teorema, y mucho, mucho más, se encuentra en el elegante folleto de Kaplanski (¡90 páginas!) Grupos abelianos infinitos .
