Se puede resumir de una serie se innumerables

Question

Hay varios métodos para decir si la suma de la serie es finita o no. Podemos decir que si la suma de la serie es contable o no.

Por ejemplo, $S_n=\Sigma_{0 \leq i \leq n}{2^i}= 2^{n+1}-1$ $n=\aleph_0$

$ S_{\aleph_0}=2^{\aleph_0}-1$

Así que podemos decir que tiene un valor que no es contable. Pero no se que significa que la suma de números enteros resulta que no sea un número entero, como todos los enteros forman un conjunto de countables. O podemos decir que la serie $S_i$ tiene un límite que se encuentra fuera del conjunto de inetgers lo $\{S_1, S_2, S_3 ...\} \subset I$ tiene un límite de $p$, de tal manera que $p \notin I$

Edit: he entendido que $\{S_1, S_2, S_3 ...\} \subset I$ tiene un límite de $p$ es incorrecta, ya que ni $\aleph_0$ ni $2^{\aleph_0}$ mentira en $\mathbf{R}$, pero todavía estoy confundido acerca de otras cosas.

Edit: Supongamos que tenemos conjuntos de $A_1, A_2, ... A_i...$ tener $2^i$ elementos para $i=1,2 ...$ es decir $\#(A_i)=2^i$. Supongamos que todos estos conjuntos son disjuntos podemos decir si el establecimiento $A=\bigcup_{1 \leq i \leq \infty} A_i$ es contable o no.

Answer 1

Esta pregunta confunde dos nociones de infinito. La noción de infinito en la teoría de conjuntos, que describe cómo grande un conjunto es, no es el mismo que el infinito de análisis. En resumen, la infinidad de análisis significa, simplemente, "crece sin límite." Por otro lado, el infinito de la teoría de conjuntos habla acerca de qué tipo de juego que usted puede poner su conjunto en uno-a-uno correspondencia con. Un conjunto de cardinalidad $\aleph_0$ cuando se pueden poner en un emparejamiento con los números naturales.

Los poco más largo de la historia: Una serie es un límite. En particular, es un límite de la secuencia de sumas parciales de sus términos. Decimos que la serie converge cuando esta secuencia enfoques algún número finito. En particular, la secuencia converge al límite de $S$ si para cada número real positivo $\epsilon$, no es un índice de la secuencia de $N$, por lo que para cada índice mayor que $N$, los términos de la secuencia de no poder hacer más de $\epsilon$$S$. Lo que esto significa es que las condiciones para ingresar y permanecer cerca de un número en particular, y como tomamos $\epsilon \to 0$, podemos acercarnos más y más a este número.

Cuando esto no sucede, puede hacer una de las pocas cosas. Podría rebotar y nunca asentarse. El ejemplo prototípico es $(-1)^n$. Rebota hacia atrás y hacia adelante, pero nunca se resuelve. Otra posibilidad es la de que los golpes, con los términos de la oms (absoluta) de los valores que eventualmente superar cualquier número posible. En este caso, decimos que la secuencia 'diverge.' Desde que la serie infinita es sólo un tipo especial de límite de secuencia, aquí también decimos que la serie diverge cuando las sumas parciales son cada vez más grande, y va a crecer más que cualquier número finito.

Así, mientras que la infinidad de análisis tiene que ver con un tipo de cambio y crecimiento, el infinito de la teoría de conjuntos es bastante estancada, y las medidas de un tipo de tamaño. Ninguno es mejor o peor, solo que la captura de las diferentes nociones.

Answer 2

Recordemos que la declaración de $S_n = 2^{n+1} - 1$ es demostrado por inducción. La inducción no es magia, no se puede aplicar a cosas que no son de su dominio. Por ejemplo, sólo porque $S_n = 2^{n+1} - 1$ no quiere decir $S_{\mathrm{apple}} = 2^{\mathrm{apple}+1}-1$. La inducción funciona en dos pasos: en primer lugar, la base de caso muestra que la demanda se mantiene a $n = 0$. Segundo, la inducción de paso demuestra que si la demanda tiene por $n$ entonces que tiene de $n+1$. Ahora, para demostrar que (por ejemplo) funciona para $10$, se observa que la inducción de paso dice que si funciona para $9$ entonces funciona para $10$. Si funciona para $8$, luego se trabaja para $9$. Y así sucesivamente y así sucesivamente, de vuelta a $0$, que ya sabemos que funciona.

La cosa es que para manzanas o $\aleph_0$, no es una manera de dar un paso atrás a $0$ uno por uno. El argumento por inducción no funciona, y por lo que el resultado final no tiene ninguna razón para trabajar.

EDIT: Usted mencionó en un comentario la ecuación de $(x - 1)(x^n + x^{n - 1} + \ldots + 1) = x^{n+1} - 1$. Esta ecuación es demostrado por inducción en $n$. Por lo tanto, tiene para todos los números naturales, sino $\aleph_0$ es no cubiertos por la inducción. Voy a llamar su atención, por ejemplo, para el caso en que $n$ es negativo, o $n = \pi$. La ecuación no tiene sentido para aquellos valores de $n$, debido a que los valores son muy diferentes de los positivos números naturales. Lo mismo es cierto de $\aleph_0$.

Como mencioné en un comentario más abajo, prácticamente nada de lo que es verdadero de finito $n$ también es cierto de $\aleph_0$. Incluso la simple declaración de $n < n + 1$ es falso cuando $n = \aleph_0$.