¿Qué es quantum acerca de la no-clonación teorema?

Question

He diversamente escuchado a la gente describir la no-clonación teorema como una característica esencial de la "física cuántica", similar a decir "no podemos copiar arbitraria de información cuántica de precisión arbitraria". Sin embargo, esta pregunta es acerca de la interpretación de la cuántica resultado en la medida en que arroja luz sobre la clásica resultado presentado en el curso de la pregunta.

Los básicos de la declaración formal del teorema es que, dado un espacio de Hilbert $H$, no hay ningún operador unitario $U : H \otimes H \to H \otimes H$ tal que $$ U (\lvert a \rangle \otimes \lvert b\rangle) = \lvert a\rangle \otimes \lvert a\rangle$$ para todos los $\lvert a\rangle \in H$, y en un estado "en blanco"$\lvert b\rangle$. La pregunta es, es algo acerca de este resultado sorprendente o "quantum" desde el punto de vista de la mecánica clásica?

He aquí un argumento de que "no-clonación", también sostiene que en la mecánica clásica, tomado casi textualmente de "no Hay clonación en simpléctica mecánica" por Fenyes:

Deje $(M,\omega)$ ser un simpléctica colector, el $\omega$ es la forma simpléctica que codifica lo que los físicos llaman el corchete de Poisson por $\omega(X_f,X_g) = \{f,g\}$ donde $X_f$ es el campo vectorial definido por $\mathrm{d} f = \omega(X_f,-)$. A continuación, todos los movimientos físicos en $M$ son symplectomorphisms, es decir, las funciones de $M\to M$ que preservar $\omega$, debido a que son parte integral de los flujos del campo de vectores Hamiltoniano $X_H$ que es un simpléctica vector campo de la construcción.

La combinación de espacio de fase de los dos sistemas de $(M,\omega),(M',\omega')$ $(M\times M',\omega + \omega')$ donde $\times$ es el producto Cartesiano de los colectores. Ahora, el clásico de la radiodifusión analógica a la no-clonación teorema claramente sería la afirmación de que no existe symplectomorphism $\phi : M\times M\to M\times M$ tal que $$ \phi(a,b) = \phi(a,a)$$ para todos los $a\in M$ y un espacio en blanco estado $b\in M$. Y, de hecho, esto es cierto:

Deje $u,v\in T_{(b,b)} (M\times M)$ ser tangente vectores en $(b,b)$. Desde $\phi(x,b) = (x,x)$ por supuesto, las curvas de $(\gamma(t),b)$ a partir de a $(b,b)$ se correlacionan con las curvas de $(\gamma(t),\gamma(t))$ a partir de a $(b,b)$, y por lo $\mathrm{d} \phi_{(b,b)} (w,0) = (w,w)$ todos los $w\in T_{(b,b)}(M\times M)$. Por lo tanto, \begin{align} & (\omega + \omega)((u,0),(v,0)) = (\omega + \omega)((u,u),(v,v)) \\ \implies & \omega(u,v) + \omega(0,0) = \omega(u,v) + \omega(u,v) \\ \implies & \omega(u,v) = 0\end{align} lo cual es una contradicción, porque simpléctica formas son no degenerados por definición. Por lo tanto, no clásica de Hamilton clonación mapa existe.

Así que, ¿qué significa este resultado muestran en realidad? Son los supuestos de la no-clonación teorema de tonto y deseada de la clonación mapa no reflejan realmente lo que significa ser capaz de copiar información arbitraria en cualquiera de los casos? Hay una sutil diferencia entre la clásica y la cuántica en un entorno que hace que las suposiciones tontas en el clásico, pero no en el quantum de configuración? Si los supuestos no son tontos, entonces ¿cuál es la importancia de la clásica resultado?

Answer 1

La respuesta parece ser que dado aquí.

Permítanme resumir: el punto es que la noción de copia que se suele ver (como en el OP) no es realmente lo que queremos decir con la copia. Sólo se permite para el objeto que queremos copiar, y el nuevo objeto. En ese caso, de hecho, es imposible clonar. Pero el artículo vinculado muestra que si se incluyen también una copiadora, entonces se vuelve posible clonar en el caso clásico (pero sigue siendo imposible en el quantum caso).

(Nota: en realidad no es prueba de que siempre es posible clásica, pero al menos da algunos ejemplos explícitos de donde está.)

Answer 2

Tienes razón de que no la clonación no es inherentemente cuántica. La clásica analógica de quantum de la clonación es la "probabilidad de la clonación".

Aquí está la probabilidad de clonación reto: crear una máquina que toma una moneda preparado para ser heads up con una probabilidad de $p$, pero las salidas de dos monedas que están mano a mano con probabilidad de $p$. El problema es que usted no sabe $p$ (la máquina debe funcionar para todas las $p$) y el dos de salida de las monedas se supone que para ser independiente. Las estadísticas de la salida debe satisfacer $P(HH) = p^2$, $P(HT) = P(TH) = p (1-p)$, y $P(TT) = (1-p)^2$.

Espero que usted ver por qué esta máquina no puede existir (o, al menos, debe realizar muy mal). La moneda del estado no decir lo suficiente acerca de la probabilidad de que la generó. Una muestra que no es suficiente la información para obtener una buena idea de la distribución subyacente. Así que lo mejor que puedes hacer es hacer las dos monedas coincide con la de entrada, tal vez tire un poco de ruido, y la esperanza de las pruebas estadísticas se pierda lo obvio.

Otra forma de pensar es que no hay una matriz estocástica $S$ que satisface:

$$S \begin{bmatrix} p \\ 1-p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p \\ 1-p \end{bmatrix}^{\otimes 2} =\begin{bmatrix} p^2 \\ p (1-p) \\ p(1-p) \\ (1-p)^2 \end{bmatrix}$$

Esto es evidente, porque la salida requiere que los componentes de la entrada para ser multiplicado y cuadrado. Usted no puede ir de $p$ $p^2$mediante una operación lineal.

Ver también: el documento de 2002 Clásica de No-Clonación Teorema' por A. Daffertshofer et al., que es citado por el periódico citado.

Answer 3

Comentarios para el post (v1):

1. Así que hay al menos 4 teoremas relacionados:

   1. La cuántica No-clonación teorema de estados puros por Wootters, Zurek Y Dieks.

   2. La cuántica No-emisión teorema de densidad de los operadores.

   3. La clásica simpléctica de No-clonación teorema por Refs. 1-2. Esto es lo que el OP pregunta acerca de.

   4. La clásica probabilística de No-clonación utilizando el teorema de Kullback-Leibler divergencia Ref. 3. Vamos a tener nada más que decir sobre el tema 4.

2. Tenga en cuenta que tanto los Thm. 1 & Thm. 3 de primaria de una línea de pruebas. Por lo tanto, podría no ser muy constructivo/productivo/útil/significativo para tratar de compararlos. [E. g. un "detalle" de que si no tenemos en cuenta (i) un espacio de Hilbert o (ii) un proyectiva espacio de Hilbert/ray espacio (como se hace en la mecánica cuántica) ya es más sutil, cf. por ejemplo, el teorema de Wigner y su no-trivial de prueba.]

3. En geométrica de cuantización, bajo el principio de correspondencia entre la clásica y la mecánica cuántica, el espacio de Hilbert ${\cal H}$ se identifica con una de Lagrange submanifold a través de la polarización. Por lo tanto, no podemos utilizar el espacio de Hilbert ${\cal H}$ a de la sonda no-cero de las direcciones de la estructura simpléctica. Por tanto, podemos argumentar que la clonación de obstrucción en los Thm. 3 no se corresponde con la clonación de la obstrucción en los Thm. 1.

4. En Lugar De Thm. 1 es de una naturaleza diferente, posiblemente más cerca de relacionados con la Thm. 2. Si el tiempo lo permite, podemos elaborar más sobre este punto en el futuro.

Referencias:

1. A. Fenyes, no Hay clonación en simpléctica mecánica, 2010.

2. A. Fenyes, J. Math. Phys. 53 (2012) 012902, http://arxiv.org/abs/1010.6103.

3. A. Daffertshofer, A. R. Plastino, & A. Plastino, Phys. Apo. Lett. 88 (2002) 210601.