Entiendo el concepto de ecuaciones no lineales. Hace poco tuve una conversación con un colega y utilizó el término ecuación "altamente no lineal".
Esto me hizo pensar, ¿cómo clasificamos qué comportamiento no lineal es superior a otro? ¿Cómo clasificamos o cuantificamos los niveles de no linealidad en un sistema físico?
Se trata de un tema muy amplio, pero como regla general, altamente no lineal significa que las no linealidades no pueden tratarse con teoría de perturbaciones ya que son no despreciables en comparación con la parte lineal de las ecuaciones (y, en general, no sólo no son despreciables, sino que de hecho dominan la dinámica).
Como ejemplo de una teoría no lineal que puede tratarse en la teoría de perturbaciones, considérese QED . Por otro lado, las ecuaciones altamente no lineales pueden ser cualquier cosa que modele turbulencias especialmente en el caso de la relatividad general: por ejemplo, la modelización de la dinámica de una supernova. Para un ejemplo muy claro de un sistema altamente no lineal, te recomiendo que veas esta simulación del colapso de un núcleo: Reproduciendo: Colapso del núcleo :
Las ecuaciones lineales son siempre una aproximación de los procesos físicos reales, por lo que cabe afirmar que todo sistema real es no lineal en cierta medida. No obstante, muchos sistemas pueden considerarse lineales si su comportamiento puede describirse mediante ecuaciones lineales con suficiente precisión.
Del mismo modo, si se dice que un sistema no es lineal, suele significar que es sustancialmente no lineal por lo que las ecuaciones lineales no bastan para describirlo. A menudo, aún se puede linealizar esa ecuación en torno a un punto determinado para obtener una solución lineal local. A pesar de ser locales, estas soluciones locales pueden ser bastante útiles, sobre todo si el "punto de trabajo" puede permanecer estable. Por ejemplo, así es como se modelan la mayoría de los componentes electrónicos.
Por último, hay sistemas que no tienen ningún punto de trabajo útil (por ejemplo, sistemas caóticos ). Si estos sistemas también son no lineales, las soluciones lineales locales no tienen mucho sentido, ya que su estado se "desviará" rápidamente hasta el punto de que dichas soluciones pierden toda precisión. Ése es el tipo de sistemas que yo llamaría altamente no lineal .
Para las ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales, existe una distinción práctica entre los sistemas débilmente no lineales, en los que los métodos de solución "estándar" (elementos finitos, diferencias finitas, volumen finito, etc.) para el sistema lineal correspondiente siguen funcionando bien, y los sistemas fuertemente no lineales, en los que pueden no funcionar en absoluto.
Un ejemplo de este tipo de sistema débilmente no lineal sería la ecuación de conducción del calor en una situación en la que las propiedades del material (calor específico y conductividad) son funciones de la temperatura que varían suavemente. Un procedimiento de solución estándar (por ejemplo, Crank-Nicholson time marching) probablemente funcionará bien simplemente utilizando las "mejores estimaciones" de las propiedades del material, basadas en las temperaturas calculadas, en cada paso de tiempo.
Por otra parte, es poco probable que este planteamiento directo funcione para un sistema de transferencia de calor que implique cambios de fase y calor latente, por ejemplo, modelizando la forma de la interfaz entre las fases sólida y líquida a medida que el sistema se calienta o se enfría. El método numérico tendría que incluir el calor latente (por ejemplo, reformulando el problema en términos de entalpía en lugar de temperatura) y también el hecho de que si la discretización del material es fija en el espacio, el límite entre las fases no coincidirá exactamente con los puntos de discretización.
Al resolver cualquier conjunto de ecuaciones simultáneas (no necesariamente derivadas de una EDO o EDP) mediante un método iterativo, a menudo se puede hacer una división similar entre no linealidad débil y fuerte.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
0 votos
Sin embargo, hay que tener en cuenta que algunos físicos son famosos por hacer que sus descubrimientos parezcan más dramáticos diciendo " muy no lineal", " muy no trivial", " muy no clásico". independientemente del grado de nada :-)