Espacios coherentes

Question

En Pruebas y tipos Girard habla de los espacios coherentes (o de coherencia), que se definen como una familia de conjuntos cerrados hacia abajo ( $a\in A,b\subseteq a\Rightarrow b\in A$ ), y binario completo (Si $M\subseteq A$ y $\forall a_1,a_2\in M (a_1\cup a_2\in A)$ entonces $\cup M\in A$ )

Estaba relacionado informalmente con los espacios topológicos. En fin, tengo un par de preguntas bastante generales: ¿Son especialmente útiles fuera de la teoría de tipos? Más concretamente, ¿aparecen los espacios coherentes en topología?

La última plantea una cuestión filosófica sobre la que he estado reflexionando: ¿Por qué algunas estructuras parecen aparecer por todas partes, mientras que otras que parecen que "deberían" ser más o menos equivalentemente útiles no parecen aparecer mucho? Un ejemplo serían los matroides frente a las topologías. Moralmente, creo que los matroides deberían ser más útiles de lo que parecen.

Es probable que la última pregunta no tenga una respuesta sólida, pero estaría bien conocer la opinión de personas con más experiencia.

Salud y gracias, Cory

Editar : Después de pensarlo un poco más, se me ha ocurrido que los espacios coherentes son una especie de "duales" de los ultrafiltros. Realmente no tengo los antecedentes para ser terriblemente formal, pero, permítanme tratar de explicar:

Sea $(X,C)$ sea un espacio coherente, y llamemos a los elementos de $C$ "abierto" (creo que la analogía está justificada, porque añadir $X$ a $C$ lo convierte en una topología), entonces los conjuntos cerrados forman un ultrafiltro. El único problema es que el cierre bajo intersección es un poco fuerte (el conjunto de conjuntos cerrados es cerrado bajo arbitraria intersecciones). Por otra parte, si $(X,U)$ es un ultrafiltro, el conjunto de complementos de conjuntos abiertos casi forma un espacio coherente pero las condiciones de las uniones son demasiado débiles.

Así pues, mi siguiente pregunta es: ¿Se ha explorado este vínculo? ¿Hay algo que explorar?

Gracias de nuevo.

Answer 1

Un análogo de sus espacios de coherencia se utilizan ampliamente en la teoría de conjuntos, en particular con el método de forzamiento, la técnica set-teórica a menudo se utiliza para demostrar afirmaciones independientes de ZFC. Pero hay una variación, en la que la cláusula de coherencia se debilita para cubrir sólo algunos M, como M de un cierto tamaño.

Por ejemplo, en el argumento de forzamiento estándar para añadir κ muchos reales de Cohen genéricos, se considera el orden parcial consistente en todas las funciones parciales finitas de (ω x κ) a {0,1}. Esta colección de funciones parciales satisface sus propiedades, si restringimos a M finito, ya que la unión de un conjunto de funciones parciales es una función si y sólo si estas funciones son coherentes, en el sentido de que dos cualesquiera de ellas concuerdan. Si F es un filtro maximal sobre este orden parcial, entonces la unión de F es una función completamente de (ω x κ) a {0,1}. Si el filtro es lo que se conoce como V-genérico, entonces los cortes de esta función añaden κ muchos nuevos reales de Cohen. Si κ es al menos ω ₂ entonces se puede argumentar que la CH falla en la extensión de forzamiento resultante.

Muchas nociones de forzamiento tienen la forma de funciones parciales de un conjunto a otro, restringidas por el tamaño o por otras características, por lo que también satisfacen la correspondiente versión restringida de su espacio de Coherencia.