Encuentra todos los enteros positivos x, y, z que satisfagan la ecuación $(x^2 + 1)(y^2 + 1) = z^2 + 1$ dado que $(x^2 + 1)$ y $(y^2 + 1)$ son dos números primos.
Parece trivial que el único conjunto de números enteros x, y y z que trabajan $(1^2 + 1)(2^2 + 1) = 3^2 + 1$, que es equivalente a $2 * 5 = 10$, pero ¿cómo haría demostrando esto, o hay otros sistemas para que se resuelve la siguiente ecuación?
Gracias de antemano.
Impares, números primos: primero Nos encargamos de el caso $x^2+1$, $y^2+1$ ambos impares, números primos. Si $x^2+1$ $y^2+1$ son impares, entonces $x$, $y$, y $z$ son incluso.
Factor en los enteros de Gauss. Tenemos $$(x-i)(x+i)(y-i)(y+i)=(z-i)(z+i).$$ Tenga en cuenta que $x\pm i$ $y\pm i$ son primos de Gauss. Y desde $z$ es incluso, los enteros de Gauss $z-i$ $z+i$ son relativamente primos.
El Gaussiano prime $x-i$ se divide una de $z-i$ o $z+i$. La misma observación se aplica a todos los otros primos de Gauss a la izquierda. Y no podemos tener, por ejemplo, tanto en $x-i$ $x+i$ dividiendo $z-i$, otra cosa $x^2+1$, pero no es así. Del mismo modo, $y-i$ $y+i$ no puede dividir a $z-i$. Comentarios similares se pueden hacer sobre $z+i$.
De ello se desprende que $z-i$ es una unidad de veces uno de los productos de $(x-i)(y-i)$ o $(x-i)(y+i)$ o $(x+i)(y-i)$ o $(x+i)(y+i)$.
Los argumentos de los cuatro casos que son ahora esencialmente el mismo. Consideremos el primer caso, $(x-i)(y-i)$, equivalente a una unidad veces $z-i$. Tenemos $(x-i)(y-i)=xy+1-i(x+y)$. Supongamos que esto es igual a una unidad de $\epsilon$ veces $z-i$. Entonces $$xy+1-i(x+y)=\epsilon(z-i).$$ Si $\epsilon=\pm 1$, estamos en problemas porque $xy+1$ es impar y $\epsilon z$ es incluso. Si $\epsilon=\pm i$,$xy+1=\pm 1$, lo cual es imposible.
Un primer aun: Este es el caso de la $x=1$. Obtenemos la factorización de Gauss $(1-i)(1+i)(y-i)(y+i)=(z-i)(z+i)$. El mismo argumento como el de arriba muestra que el $z-i$ es una unidad veces $(1-i)(y\pm i)$. Multiplicarse $(1-i)(y\pm i)$, podemos llegar a la conclusión de que $y=\pm 2$. Por ejemplo, si $z-i$ es una unidad veces $(1-i)(y+i)$, es una unidad veces $1+y+i(1-y)$. Si la unidad es $\pm 1$, obtenemos $1-y=\mp 1$. Y si la unidad es$\pm i$,$1+y=\mp 1$. .
No soy consciente de cómo el éxito que estoy en este intento. Yo no podía dar una conclusión a la derecha. Espero que alguien viene con una mejor respuesta.
Vamos $x^2+1=p$ $y^2+1=q$ , de tal manera que $p, q >2$
$pq-1= z^2 \implies z^2= 0(\mod 4)$
$p=2k+1, q=2m+1 \implies 4km+2(k+m)=z^2$
$2(2km+k+m)=z^2 \implies 2| 2km+k+m$, esto significa $k,m \in$ impar o $k,m \in$ incluso.
Deje $k,m \in$ impar
$k=2l-1$ $m=2j-1$
$2(2(2l-1)(2j-1)+2l+2j-2)= 4(4lj-j-l))=z^2 \implies 4|4lj-(j+l)$ $4lj-(j+l)$ es un cuadrado.
De nuevo $l,j \in$ impar o $l,j \in$ incluso. De nuevo, si trato de tomar de los casos puedo obtener otra expresión de la forma $8z$ y más de los casos dará $16t$, cada vez que obtenga una expresión en la forma $2^d \times h$ formulario, Y $q$ es el aumento de $\implies h$ es también en algunas de las $2^q \times g^2$. (Donde $q+h$ es aún)
SPOILER:
$(p-1)$ $(q-1)$ son cuadrados. ¿Qué se puede decir acerca de la $(pq-1)$? Nunca puede ser un cuadrado? Dado $p$ $q$ son impares, números primos.
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