Así que sé que dado una cadena compleja que podemos definir la cohomología de $d$-ésima tomando $\ker{d}/\mathrm{im}_{d+1}$. Pero no sé cómo esto corresponde a la idea de los agujeros en espacios topológicos (tal vez se trata de homología, estoy un poco confundido).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Editado para aclarar algunas cosas:
Simplicial y singular (co)homología se inventaron para detectar agujeros en los espacios. Para tener una idea intuitiva de cómo funciona esto, consideremos los subespacios de el avión. He aquí las 2 cadenas son formales sumas de las cosas homeomórficos para el disco cerrado, y 1-las cadenas son formales sumas de las cosas homeomórficos a un segmento de línea. El operador d, toma el límite de una cadena. Por ejemplo, el límite del disco cerrado es un círculo. Si tomamos d del círculo llegamos $0$ desde un círculo no tiene límites. Y, en general, sucede que $d^2 = 0$, que es el de los límites de siempre no tienen límites a sí mismos. Ahora supongamos que nos quite el origen del plano y tomar un círculo alrededor del origen. Este círculo está en el núcleo de d ya que no tiene límite. Sin embargo, no bound 2 de la cadena en el espacio (desde el origen se retira) y por lo tanto está en la imagen de la frontera del operador en dos dimensiones. Así, el círculo representa un no-trivial elemento en el espacio cociente $ker( d ) / im (d)$.
La forma en que se ha definido cosas hace el de arriba una homología teoría simplemente porque el d operador disminuye dimensión. Cohomology es la misma cosa solo que el operador aumenta la dimensión (por ejemplo el exterior derivado en formas diferenciales). Por lo tanto algebraicamente realmente no hay diferencia entre cohomology y homología ya que puede cambiar la clasificación de$i$$-i$.
A partir de una homología podemos obtener una correspondiente cohomology de la teoría dualizing, que es mirar los mapas desde el grupo de cadenas para el grupo subyacente (por ejemplo, $\Bbb Z$ o $\Bbb R$). Entonces d en el cohomology de la teoría se convierte en el adjunto del límite anterior operador y por lo tanto aumenta grados.
