¿Cómo debo calcular $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1^n+2^n+3^n+...+n^n}{n^n}$

Question

¿Cómo debo calcular el siguiente límite
$$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1^n+2^n+3^n+...+n^n}{n^n}$$ No tengo idea de por dónde empezar.

Answer 1

Primero usamos una observación por @Stan en el comentario. Tenga en cuenta que $(1 +\frac{x}{n})^n$ es el aumento en $n$ cuando $|x|<n$,

$$ \left(\frac{k}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{k-n}{n}\right)^n \le e^{k-n}, $$

(aquí se supone que $x:= k-n$ es fijo y varía en los dos restantes $n$s'. Esta secuencia es creciente y tiende a $e^{k-n}$, $|x| = |k-n| < $ n. Ver aquí). Entonces tenemos

$$\begin{split} \frac{1^n + 2^n + \cdots + n^n}{n^n} &= \sum_{k=1} ^n \left(\frac{k}{n}\right)^n \\ &\le \sum_{k=1}^n e^{k-n} \\ Y= 1 + e^{-1} + e^{-2} + \cdots e^{1-n} \\ &\le \frac{1}{1-e^{-1}} = \frac{e}{e-1}. \end{split} $$ Esto implica

$$\limsup_{n\to \infty} \frac{1^n + 2^n + \cdots + n^n}{n^n} \le \frac{e}{e-1}.$$

Por otro lado, la revisión $k$. Entonces para todo $n >k$, tenemos

$$\begin{split} \frac{1^n + 2^n + \cdots + n^n}{n^n} &\ge \frac{(n-k)^n + (n-k+1)^n + \cdots + n^n} {n^n}\\ &= \left( 1 - \frac kn\right)^n + \left( 1 - \frac {k-1}n\right)^n + \cdots +1 \end{split}$$

Entonces para todo $\epsilon >0$, hay $N\in \mathbb N$ de modo que

$$ \left| \left( 1 - \frac {j-1}n\right)^n - e^{-(j-1)} \right| < \epsilon$$

cuando $n \ge N$ y para todos $j = 1, 2 , \cdots, k+1$ (Nota $k$ es fijo, por lo que esta $N$ se puede encontrar)

En particular, esto implica

$$ \frac{1^n + 2^n + \cdots + n^n}{n^n} \ge e^{-k} + e^{-(k-1)} + \cdots + 1 - (k+1) \epsilon. $$

Así

$$ \liminf_{n\to \infty} \frac{1^n + 2^n + \cdots + n^n}{n^n} \ge e^{-k} + e^{-(k-1)} + \cdots + 1 - (k+1) \epsilon. $$

Ahora vamos a $\epsilon \to 0$ y $k \to \infty$, tenemos

$$ \liminf_{n\to \infty} \frac{1^n + 2^n + \cdots + n^n}{n^n} \ge \frac{1}{1-e^{-1}} = \frac{e}{e-1}. $$

Esto implica

$$\lim_{n\to \infty} \frac{1^n + 2^n + \cdots + n^n}{n^n} = \frac{e}{e-1}.$$