¿Cuántas palabras de 6 letras que tienen exactamente 2 vocales o 4 vocales hay? (todo en minúsculas)

Question

Consideré dos casos.

Caso 1 (2 vocales): Escoge 2 vocales $ \binom {5 + 2 -1}{2}$ y luego elige 4 consonantes $ \binom {21 + 4 -1}{4}$ y luego ordenarlos $6!$ .

Caso 2 (4 vocales): Escoge 4 vocales $ \binom {5 + 4 -1}{4}$ y luego elige 2 consonantes $ \binom {21 + 2 -1}{2}$ y luego ordenarlos $6!$ .

Total: $ \binom {5 + 2 -1}{2} \binom {21 + 4 -1}{4} 6! + \binom {5 + 4 -1}{4} \binom {21 + 2 -1}{2} 6!$

Pero entonces me di cuenta de que no podía hacer el paso factorial porque podría tener las mismas vocales/consonantes apareciendo más de una vez, así que estaría contando demasiado su orden. ¿Cómo puedo aclarar esto?

¿Hay alguna otra forma de hacer esto?

¡Gracias!

Answer 1

Podemos evitarlo de la siguiente manera para el caso de dos vocales:

1. Representa la palabra como seis espacios en blanco: _ _ _ _ _ _.

2. Elige dos lugares para las vocales: ${6 \choose 2}$ .

3. Como el orden es importante, podemos rellenar esos dos espacios en $5^2$ formas.

4. Como el orden importa, podemos rellenar las consonantes restantes en $21^4$ formas.

Para un total de ${6 \choose 2} 5^2 21^4=72930375$ formas.

Un argumento similar se aplica al caso de las cuatro vocales. Obtengo un total final de $77064750$ diferentes palabras con exactamente dos o exactamente cuatro vocales.

Answer 2

Has hecho buenos progresos. Me centraré en el caso 1, que muestra los problemas. Cuando eliges dos vocales, puedes elegir dos iguales. Tienes razón en que hay $15$ combinaciones de dos vocales cuando pueden ser iguales. ${5 \choose 2} = 10$ de los que tienen dos vocales distintas y ${5 \choose 1}=5$ de los que tienen dos vocales iguales. Si quieres calcular el número de palabras con un conjunto específico de cuatro consonantes, dos de las cuales son iguales, podrías hacer ${6 \choose 2}$ formas de elegir las posiciones de las vocales, $\frac {4!}{2!}$ formas de ordenar las consonantes y $2$ o $1$ formas de ordenar las vocales en función de si eran iguales. El total es $12 (10 \cdot 2 + 5 \cdot 1)=300$

Voy a dejar esto, ya que creo que muestra una manera de pensar en otros problemas. Pero Eric Thoma ha encontrado una solución muy sencilla para éste.