Estoy trabajando en ejercicio 4.2.7 de Hatcher, que es la construcción de un CW complejo de $X$ arbitrarias homotopy grupos y prescrita la acción de grupo fundamental en estos homotopy grupos (así la mayor homotopy grupos de cada ser especificado $\mathbb{Z}\pi_1(X)$-módulo), y estoy teniendo problemas con la construcción de una determinada acción de grupo fundamental en la mayor homotopy grupos.
Aquí es lo que he intentado en el especial caso de que queramos $\pi_1X\cong \mathbb{Z}$, y queremos que todos, excepto el primero y el $n^{th}$ grupos de ser trivial. Si $Y=S^1 \vee_{\alpha} S^n_{\alpha}$, sé que $\pi_n(Y)$ es un rango de $\alpha$ $\pi_1(Y)$ módulo, con los generadores de las inclusiones $S^n \to S^1 \vee_{\alpha} S^n_{\alpha}$. Así, podríamos llegar a un arbitrario $\pi_1$-módulo de estructura en un espacio adjuntando $n+1$ células a$Y$, según las relaciones que debe haber entre nuestros generadores. Creo que esto de construcción de obras de $\pi_1$ ser un grupo libre de cualquier rango, ya que podría tomar una cuña de $n$-esferas con una cuña de un montón de $S^1$s.
Por lo tanto, mis preguntas principales son: ¿cómo puedo hacer un espacio arbitrario grupo fundamental y una determinada acción de grupo fundamental en la $n^{th}$ homotopy grupo, y ¿cómo puedo obtener una precisada $\pi_1$ acción sobre distintos superior homotopy grupos al mismo tiempo?
Creo que esta pregunta es respondida aquí en Mathoverflow, pero no entiendo lo que significa para adjuntar libre órbitas a lo largo de la acción, y no estoy familiarizado con el Borel de la construcción.
