¿Cuál es la relación geométrica entre $A$y $A^T$?

Question

Plantean de manera más específica:

Que $A \in \mathbb R ^ {m \times n}$ $S_k$ ser la unidad $k$-esfera.

¿Cuál es la relación geométrica exacta entre $E_m = \{ A\vec x \mid \vec x \in S_m \}$y $E_n = \{ A^T\vec y \mid \vec y \in S_n \}$?

Answer 1

Para $A \in \mathbb{R}^{n\times m}$ $m>n$ definir la enfermedad vesicular porcina como

$$A=U[\Sigma\;0]V^T$$

Dado que la esfera no se ve afectada por las rotaciones,

$$E_m =\{U [\Sigma\;0] \vec{x} \mid \vec{x} \in S_m\}= \{U \Sigma \vec{x} \mid \vec{x} \in B_n\} $$

donde $B_n$ $n$- ball. Por lo tanto, $E_m$ $n$- bola de escala por $\Sigma$ y girado por $U$. Para $A^T$

$$E_n =\left\{V \left[{\Sigma \atop 0}\right] \vec{x} \mid \vec{x} \in S_n\right\}$$

tenemos una escala de la $n$ ámbito por $\Sigma$, a continuación, girar a $m$-dimensiones del espacio por $V$.

Si hacemos caso de la rotación/incrustación de objetos en el espacio, ambos objetos tienen el mismo delimitador de la forma, sino $E_m$ se llena mientras que $E_n$ no lo es.