Residuos en $s=1$ para $\zeta$ -funciones

Question

¿Existe algún tipo de límite para la magnitud de este residuo? He estado mirando algunos problemas de teoría de números algebraicos del examen general de Princeton. Uno de ellos es el siguiente:

¿Por qué una unidad fundamental "grande" sugiere un número de clase "pequeño" y viceversa?

A mí me parece que esto tiene que ver con la relación dada por el residuo de la función zeta. Una unidad fundamental ''grande'' implicaría un regulador grande, pero no veo por qué esto obligaría a que el número de clase fuera pequeño, a menos que podamos acotar la magnitud del residuo. ¿Alguna idea?

Answer 1

Como ha anticipado, al estimar el valor de $L$ -funciones en $s=1$ se pueden obtener límites sobre el grupo de clases y el regulador. A grandes rasgos, se tiene una desigualdad $h R < |D|^{1/2 + \epsilon}$ , donde $h$ , $R$ y $D$ son el número de clase, el regulador y el discriminante del campo, respectivamente. Más concretamente, se tiene el Teorema de Brauer-Siegel .