Actualmente, estoy estudiando una Sola Variable de Cálculo, de forma independiente a través de MIT OCW. Yo sólo puede centrarse en un curso en un momento, de forma independiente, ya que se necesita mucho tiempo, y realmente quiero estudiar Álgebra Lineal en lugar de Multi-Variable de Cálculo.
Mi pregunta es simplemente esto: después de la comprensión de una Sola Variable de Cálculo, iba a ser capaz de seguir y entender Álgebra Lineal, o que debo hacer Multi-Variable Cálculo en primer lugar?
Cálculo Multivariable es útil porque da muchas aplicaciones de álgebra lineal, pero ciertamente no es necesario. De hecho, usted probablemente necesita de álgebra lineal para realmente empezar a entender cálculo multivariable.
A saber, uno de los principales objetos de cálculo multivariable es la diferencial de una función. En una sola variable de cálculo, se le enseña que la diferencial de una función de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es un nuevo mapa de $f':\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que proporciona la pendiente de la línea tangente a $f$ en cada punto en $\mathbb{R}$. Esto es estrictamente correcto, pero no es la mejor manera de entender una sola variable de cálculo si desea generalizar fácilmente.
La mejor manera de ver de una sola variable cálculo es de recordar que la línea tangente a $f$ $x$ es el mejor afín-aproximación lineal a$f$$x$, es decir, $f$ se aproxima por $f(y)\approx f'(x)(y - x) + f(x).$
Esto generaliza bastante bien! Si $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$, el diferencial de a $f$ a $x$, $df_x$, es la mejor aproximación lineal a $f$ a $x$: $f(y)\approx df_x(y-x) + f(x)$. Ahora, pensamos que de $x$ $y$ como vectores en $\mathbb{R}^n$ y el diferencial de $df_x$ $n\times m$ matriz.
De manera más general, pensamos en $df$ como un mapa de $\mathbb{R}^n$ a $Hom(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)$ que mide la mejor aproximación lineal de $f$ en cada punto de $x\in\mathbb{R}^n$.
La generalización requiere además de la noción, de la geometría diferencial, de un suave colector. Dichos colectores de llevar objetos llamados tangente paquetes, que asigna a cada punto del colector de un espacio vectorial abstracto.
Usted puede ver cómo el álgebra lineal es un poco más útil para el cálculo multivariable que la otra manera alrededor.
Los dos son casi totalmente independientes. En términos de álgebra lineal, son ortogonales entre sí. En álgebra linear están aprendiendo técnicas y normas de manipulación de matrices, mientras que en cálculo multivariable que voy aprendiendo sobre cómo integrar sobre múltiples variables y diferenciales parciales. Nada en común excepto tal vez coincidentes traslapos de temas menores.
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