Significado geométrico de automorfismos de grupos cíclicos

Question

Estoy buscando una interpretación geométrica de la acción de los automorfismos de grupos cíclicos. Tomaré un ejemplo particular para que quede claro :

Estoy tomando el grupo cíclico $\mathbb{Z}_{12}$, que tiene a $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ como grupo de automorfismos. Considerando los enteros módulo 12, los automorfismos son las multiplicaciones por 1, 5, 7 o 11.

Estoy considerando ahora la acción de $\mathbb{Z}_{12}$ en un círculo discretizado de 12 puntos en un plano (un dodecágono). La acción de multiplicar por 11 (figura izquierda a continuación) corresponde a una reflexión geométrica en el plano, y recupero el grupo diedral de simetrías del dodecágono.

Sin embargo, la multiplicación por 5 o 7 envía formas dibujadas en este círculo a formas diferentes, y no encuentro un significado geométrico obvio para estas. ¿Existe alguno? (Por ejemplo, en la figura derecha arriba, la acción de multiplicar por 5 en el triángulo morado da como resultado el triángulo verde, sin una relación obvia entre ellos)

Dado que estos automorfismos se pueden considerar como transformaciones afines, y los espacios afines se pueden considerar como subespacios de espacios proyectivos, estoy considerando trabajar en la línea proyectiva sobre el campo de 13 elementos, pero por ahora no estoy avanzando...

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Edit:

Este post fue editado ya que mi mensaje original trataba sobre $\mathbb{Z}_8$. Interesantemente, aunque $\mathbb{Z}_8$ tiene el mismo grupo de automorfismos, todas las multiplicaciones corresponden a reflexiones geométricas en el plano...

Answer 1

No se puede decir que estás considerando LA acción de $\mathbb Z_8$ en el círculo porque hay CUATRO acciones fieles y tres acciones infieles. Para las fieles, el generador, 1, puede ser rotación por $\frac{2\pi}8=45^\circ$, rotación por $3\cdot\frac{2\pi}8=135^\circ$, rotación por $5\cdot\frac{2\pi}8=225^\circ$, o rotación por $7\cdot\frac{2\pi}8=315^\circ$. Para las infieles, puede ser rotación por $90^\circ$, $270^\circ$ o $180^\circ.

La primera interpretación geométrica de los cuatro automorfismos de $\mathbb Z_8$ es que te permiten pasar de una elección de acción fiel a otra elección de acción fiel. En general, los endomorfismos de $\mathbb Z_8$ (que se consideran multiplicativamente en el monoid de $\mathbb Z_8$) te permiten pasar de una elección de la acción a otra elección de la acción. Probablemente esto no te parezca muy satisfactorio, así que a continuación hay una segunda interpretación geométrica.

Cada uno de los endomorfismos de $\mathbb Z_8$ corresponde (independientemente de la acción fiel) a un endomorfismo del grupo de círculo, y los endomorfismos del grupo de círculo se pueden pensar como envolver el plano alrededor de sí mismo $x$ veces.

Entonces, si consideras el conjunto de vértices de tu octágono, la interpretación geométrica de un endomorfismo $x\in\mathbb Z_8$ es que actúa sobre los vértices envolviendo el plano alrededor de sí mismo $x$ veces. Por eso el octágono se convierte en una estrella, uno es el envolvimiento del otro.

La razón por la que el octágono no se conserva (pero su conjunto de vértices sí) es que envolver realmente cambia los ángulos (por ejemplo, $45^\circ$ se convierten en $3\cdot45^\circ=135^\circ$) y así las distancias también deben cambiar.

Answer 2

Puedes ver los automorfismos de $Z_{12}$ como agradables transformaciones geométricas si estás dispuesto a tratarlos por separado.

- La identidad (multiplicación por 1) siempre es "geométrica".

- La multiplicación por -1 (o 11) es geométrica en el sentido de que se realiza mediante una reflexión en el dodecaedro en tu publicación original: la reflexión fija 0 y 6 = -6 (mod 12).

- La multiplicación por 5 se puede realizar de la siguiente manera. Primero cuenta los puntos fijos. En otras palabras, resuelve $5x = x$ o $4x = 0$ en $\mathbb{Z}_12$. Las soluciones son 0, 3, 6 y 9. Ahora, considera al grupo como los vértices de un prisma hexagonal rectangular. Sea $P$ el prisma, y sean $H_b$ y $H_t$ los hexágonos inferior y superior. Etiqueta los vértices inferiores 0, 2, 4, 6, 8, 10 (cíclicamente) y etiqueta los vértices superiores 3, 5, 7, 9, 11, 1 de modo que 0 esté unido a 3 por un borde vertical del prisma, 2 esté unido a 5, etc. El gráfico subyacente es casi el gráfico de Cayley de $Z_{12}$ con respecto al conjunto generador (aditivo) $\{2,3\}$; agrega los bordes adicionales para el generador 3 para completar el gráfico de Cayley. La multiplicación por 5 se realiza mediante una reflexión. Los puntos fijos son 0, 3, 6 y 9.

- La multiplicación por 7 se realiza de la misma manera. Los puntos fijos son las soluciones de $6x = 0$, es decir, 0, 2, 4, 6, 8 y 10. Esta vez considera el gráfico de Cayley con respecto al conjunto generador $\{3, 4\}$. Hay una reflexión agradable de este gráfico con los puntos fijos deseados. (Deberías ver tres cuadrados y 4 triángulos; se puede visualizar de manera agradable en un toro, por ejemplo.)

Answer 3

Un automorfismo para un grupo cíclico necesita llevar un generador a otro generador.
Un automorfismo también es parte de un grupo de simetría que, para el plano acotado, solo puede ser la identidad, una rotación o una reflexión.

Aplicando estas definiciones, obtenemos una visualización geométrica directa de $Aut[\mathbb Z_{12}]$.

Comienza con tu generador $t^1$.

• Nuestra primera simetría es la identidad o mapeo de todos en sí mismos. Este es el trivial $1$-automorfismo que lleva $t^1$ a $t^1$. Alternativamente, esto se puede ver como una rotación de $360^o$.

• Ahora, fija una línea de reflexión de $t^0$ a $t^6$. Esto refleja $t^1$ en $t^{11}$. Por lo tanto, el $11$-automorfismo corresponde a una reflexión a lo largo de la línea vertical.

• Luego, fija una línea de reflexión de $t^3$ a $t^9$. Esto refleja $t^1$ en $t^5$. Por lo tanto, el $5$-automorfismo corresponde a una reflexión a lo largo de la línea horizontal.

• Finalmente, rota por $180^o$. Esto lleva $t^1$ a $t^7$. Uno también puede ver esto como una transformación compuesta al reflejar primero en la vertical (horizontal) y luego en la horizontal (vertical). De cualquier manera, esto corresponde al $7$-automorfismo.

Para ver esto más claramente, dibuja los generadores en la cara de tu reloj y conecta los puntos. Tendrás un rectángulo uniendo $t^1$, $t^5$, $t^7$ y $t^{11}$. Ahora puedes ver claramente que la reflexión vertical, la reflexión horizontal, la rotación de $\pi$ y la rotación de $2\pi$ son las únicas transformaciones que preservan el rectángulo, las únicas formas de mapear generadores en generadores.

El $11$-automorfismo define inversos

Observa que la reflexión vertical, el $11$-automorfismo, define los inversos de los elementos del grupo $\mathbb Z_{12} $:

\begin{matrix} t^{11} = t^{-1}\\ t^7 = t^{-5} \\ t^{11} \not= t^{-5} \not= t^{-7} \\ t^7 \not= t^{-1} \not= t^{-11}\\ \end{matrix}

Podemos verificar esto considerando los automorfismos de los subgrupos de $\mathbb Z_{12}$, que deberían ser invariantes bajo el automorfismo del grupo padre.

Los subgrupos $\mathbb Z_{1}$ y $\mathbb Z_{2}$ tienen un $Aut[\mathbb Z_1]$ trivial.

Los subgrupos $\mathbb Z_3, \mathbb Z_4,$ y $\mathbb Z_6$ tienen un $Aut[\mathbb Z_2]$ no trivial.

Ahora mapea $Aut[\mathbb Z_{12}]$ en los subgrupos no triviales y observa que siempre verás el $1$-automorfismo opuesto al $11$-automorfismo y el $5$-automorfismo opuesto al $7$-automorfismo. Nunca verás el $1$- y $11$- o el $5$- y $7$- automorfismos mapeados en el mismo automorfismo del subgrupo.

Este mapeo también arroja luz sobre lo que significa tener un $Aut[\mathbb Z_{1}]$ trivial. Realiza el procedimiento de mapeo en los subgrupos $\mathbb Z_{1}$ y $\mathbb Z_{2}$ y notarás que en ambos casos, $Aut[\mathbb Z_{12}]$ se mapea al mismo generador.

Interpretación aditiva y multiplicativa de $Aut[\mathbb Z_{12}]$

Otra observación es que interpretar $Aut[\mathbb Z ]$ como un grupo aditivo te da los generadores mientras que interpretarlo como un grupo multiplicativo te da las simetrías de permutación. No estoy seguro sobre la redacción de esta última, pero como ejemplo, en el caso de $\mathbb Z_{12} $ la interpretación multiplicativa significa que los $1,5,7$ y $11$-automorfismos corresponden a:

\begin{matrix} x \rightarrow x \\ x \rightarrow 5x \\ x \rightarrow 7x \\ x \rightarrow 11x \\ \end{matrix}

Finalmente, todo esto refleja (con doble sentido) el hecho de que
\begin{matrix} Aut[\mathbb Z_{12}] = Aut[\mathbb Z_{8}] = \mathbb Z_{2} \otimes \mathbb Z_{2} \end{matrix}
que es el Grupo Cuaterniónico con dos reflexiones ($\mathbb Z_{2}$) más dos rotaciones ($\mathbb Z_{2}$)