Posibilidades de evitar la diagonal

Question

Un círculo de radio 1 está puesto al azar en un rectángulo $ABCD$, de modo que el círculo se encuentra completamente dentro del rectángulo. Longitud y ancho de los rectángulos son 36 y 15 respectivamente.

Deje que la probabilidad de que el círculo no toque diagonal $AC$$\dfrac mn$. Aquí $m$ $n$ son relativamente primos números enteros positivos.

Encontrar el valor de $m + n$.

Creo que esto se puede hacer mediante el cálculo de área. Pero yo soy incapaz de cómo. También la longitud de la diagonal será 39 .

¿Cómo puedo lograr esto?

Answer 1

La respuesta es 817.

Al principio yo era sólo una suposición, o más bien dejar que la Cenicienta hacer la adivinación para mí:

Pero la magia detrás de esta guess que los intentos de convertir un número de punto flotante de regreso en algo parecido a un racional es algo oscuro (a pesar de la continuación de la fracción en el que hay un buen tema). La idea es clara: todas las posibles ubicaciones de la zona verde de inserción de 1 en cada frontera. Así que eso es $34\times 13$. El área donde el círculo no se toca es el formado por dos simétrica copias del triángulo amarillo, que se mide en esta imagen, pero que debe ser calculada de forma manual.

Cuando se hace manual de cálculo, puede utilizar el hecho de que todas las longitudes incluyendo la diagonal son racionales (y de hecho enteros), por lo que todas las funciones trigonométricas calcula a partir de estos será racional así. Usted puede calcular el resultado se indicó anteriormente como

$$ \frac{ \left(36 - 1 - \frac{36}{15} - \frac{39}{15}\right) \cdot \left(15 - 1 - \frac{15}{36} - \frac{39}{36}\right) }{(36 - 2) \cdot (15 - 2)} = \frac{375}{442} $$

Las expresiones entre paréntesis en el numerador corresponde a las piernas de el triángulo amarillo. El primer término es el correspondiente rectángulo de lado. La segunda corresponde a la unidad de inserción en la esquina inferior izquierda. El tercer elimina la parte en el lado equivocado de la diagonal. Y el cuarto representa la distancia entre la diagonal y el vértice del triángulo, correspondiente a la línea una unidad aparte de la diagonal.

Para entender el tercer y cuarto término un poco mejor, nos deja hacer zoom en la esquina inferior derecha.

Hay que ver dos triángulos congruentes, tanto similar a la mitad de su entrada rectángulo. Ambos están dimensionados de tal manera que uno de la pierna tiene una longitud de coincidencia de la radio de su disco.

Todo el concepto de la comparación de las áreas se supone que los discos se colocan uniformemente a lo largo de todas las posiciones posibles, que estrictamente hablando no está indicado en la pregunta.