¿Cómo puedo encontrar la solución de la siguiente ecuación en $a,b \mbox{ and } c$ .
$$\frac{a}{c-b+1}+\frac{b}{a-c+1}+\frac{c}{b-a+1}=0.$$ También $b-c \neq 1$ , $c-a \neq 1$ y $a-b \neq 1$ .
Gracias.
Respuesta
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Para evitar problemas de definición, consideraré $a$ , $b$ y $c$ como variables independientes en el campo de las fracciones racionales $\mathbb{C}(a,b,c)$ y buscaré algún tipo de representación paramétrica de las soluciones $(a,b,c)$ de la ecuación propuesta como funciones racionales de $\mathbb{C}(u,v)$ donde $u$ y $v$ son variables independientes. Precisamente, demostraré que $$ \frac{a}{c-b+1}+\frac{b}{a-c+1}+\frac{c}{b-a+1}=0, $$ Si y sólo si $$\eqalign{ a&=\frac{u \left(3 u v+u+3 v^2+2 v-1\right)}{u^2+u v+v^2-1}\cr b&=\frac{v \left(3 u^2+3 u v-2 u-v-1\right)}{u^2+u v+v^2-1}\cr c&=\frac{(u+v) (3 u v-u+v+1)}{u^2+u v+v^2-1}\cr } $$ Para verlo, veamos $$u=\frac{a}{c-b+1}, v=\frac{b}{a-c+1},w=\frac{c}{b-a+1}.\tag{1}$$ La ecuación propuesta es, pues, equivalente a $w=-u-v$ . Ahora $(1)$ es equivalente a $$ \left[\matrix{1&u&-u\cr-v&1&v\cr w&-w&1 }\right]\cdot\left[\matrix{a\cr b\cr c}\right]=\left[\matrix{u\cr v\cr w}\right] $$ o $$ \left[\matrix{a\cr b\cr c}\right]=\left[\matrix{1&u&-u\cr-v&1&v\cr w&-w&1 }\right]^{-1}\cdot\left[\matrix{u\cr v\cr w}\right] $$ Esto da como resultado, después de un poco de álgebra, $$\eqalign {a&=\frac{u (3 v w-v+w+1)}{u v+u w+v w+1}\cr b&=\frac{v (3 u w+u-w+1)}{u v+u w+v w+1}\cr c&=\frac{w (3 u v-u+v+1)}{u v+u w+v w+1} } $$ Ahora, la condición $w=-u-v$ se obtiene (tras la sustitución) la parametrización anunciada de las soluciones.
Edita. Si queremos sustituir $u$ y $v$ por números reales entonces $$(u,v)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\setminus\left(\mathcal{E}\cup\mathcal{H}_1\cup\mathcal{H}_2\cup\mathcal{H}_3\right)$$ donde $\mathcal{E}$ es la elipse de ecuación $u^2+uv+v^2=1$ y $\mathcal{H}_k$ ( $k=1,2,3$ ) son las hipérbolas correspondientes a las condiciones $a-c=1$ (o equivalentemente $3uv-v-2u+3u^2=1$ ), $b-a=1$ (o equivalentemente $3uv+v-u=-1$ ), y $c-b=1$ (o equivalentemente $3uv+u+2v+3v^2=1$ ). $$ \eqalign{\mathcal{E}:& \quad u^2+uv+v^2=1\cr \mathcal{H}_1:& \quad 3uv-v-2u+3u^2=1\cr \mathcal{H}_2:& \quad 3uv+v-u=-1\cr \mathcal{H}_3:& \quad 3uv+u+2v+3v^2=1 }$$ La siguiente figura muestra este conjunto: 
