Un no-abelian grupo tal que $G/z(G)$ es abeliano.

Question

Estoy buscando un ejemplo de un grupo no abeliano $G$ tal que $G/z(G)$ es abelian, $z(G)$ Dónde está el centro del $G$. En otras palabras, estoy buscando para un grupo no abeliano donde $z(G)$ contiene el subgrupo conmutador del $[G,G]$.

Además, ¿qué pasa si solicito $G/z(G)$ ser finitamente generados y Grupo abeliano?

Answer 1

El grupo de cuaterniones $Q=\lbrace\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\rbrace$ encaja en ese proyecto de ley. Su centro es $\lbrace \pm1\rbrace$, y el cociente por el centro cuenta con el fin de $4=2\times 2$, por lo que tiene que ser conmutativa, siendo el cuadrado de un número primo. Realmente es isomorfo a $\Bbb Z/2\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$.

EDICIÓN 1. Como se nota por @DonAntonio, en este ejemplo se generaliza a todos los grupos finitos de orden $p^3$ (donde $p$ es un número primo). De hecho, $p$ grupos no trivial centro, y el cociente de no conmutativa grupo por su centro no puede ser cíclico, por lo que no conmutativa grupo de orden $p^3$ debe tener el centro de la orden de $p$, y el cociente de su centro debe ser no cíclico de orden $p^2$, por lo tanto isomorfo a $\Bbb Z/p\Bbb Z\times\Bbb Z/p\Bbb Z$.

EDICIÓN 2. Un ejemplo de un no conmutativa grupo de orden $p^3$ está dado por el grupo de uppertriangular matrices de tamaño $3\times 3$ con coeficientes en $\Bbb Z/p\Bbb Z$ y una diagonal de: $$\left\lbrace\begin{pmatrix}1&a&b\\&1&c\\&&1\end{pmatrix}\left|\right.\, a,b,c\in\Bbb Z/p\Bbb Z\right\rbrace$$ (El grupo de operación es de curso dado por la multiplicación de la matriz.)

Answer 2

Un buen ejemplo de una infinita grupo de este tipo es el "entero "Heisenberg" grupo". Se tiene una representación de la matriz como el grupo de $3 \times 3$ matrices con $1$'s en la diagonal, $0$'s por debajo de la diagonal, y enteros por encima de la diagonal. Su centro es la infinita grupo cíclico generado por la matriz con un $1$ en la esquina superior derecha de la esquina y con dos $0$'s en el super de la diagonal (y $1$'s en la diagonal). El cociente grupo es isomorfo a $\mathbb{Z}^2$, representado por un valor distinto de cero entradas en el superdiagonal.