Productos cartesianos de familias de Halmos ' libro.

Question

Estoy estudiando algo de la teoría de conjuntos de Halmos " del libro. Él introduce la generalización de los productos cartesianos por medio de las familias. Sin embargo, no puedo entender lo que está pasando. Pongo la primera introducción "La notación de..." a "... una correspondencia uno a uno". Lo que tengo problemas es con

Si $\{X_i\}$ es una familia de conjuntos de $(i\in I)$, el producto Cartesiano de la familia es, por definición, el conjunto de todas las familias $\{x_i\}$ $x_i\in X_i$ por cada $i$$I$.

Puede que me explique la motivación de esta definición? Sé que las familias son en sí las funciones de $f:I\to X$ tal que para cada una de las $i$ corresponde a un subconjunto de $X$, $x_i$. En lugar de esto escribimos succintly como $\{x_i\}_{i\in I}$ poner énfasis en el intervalo (indizada de conjuntos) de la función y el dominio (indexación) en la pregunta.

Por ejemplo, en mi caso, la familia es $f:I\to X$$f(i)=A_i$${\rm dom} f=\{0,1,2,3\}$${\rm ran} f =\left\{ {{A_0},{A_1},{A_2},{A_3}} \right\}$.

Estoy pensando que podemos hablar sobre el producto cartesiano de conjuntos como un conjunto de tuplas. Sin embargo, no puedo entender la definición de familias de conjuntos.

Os dejo la página en cuestión:

$\hspace{1 cm} $

Answer 1

Su intuición es exactamente correcto. Si $I$ es un conjunto y tiene una colección de conjuntos de $X_i$ por cada $i \in I$, entonces el producto cartesiano es como una tupla. Por ejemplo, en el caso de que usted tiene dos conjuntos, $X_0$$X_1$, su índice de conjunto es finito, ordinal $2 = \{0,1\}$. $X_0 \times X_1 = \{(a,b) : a \in X_0 \text{ and } b \in X_1\}$. Otra manera de pensar acerca de esto es $X_0 \times X_1$ es la colección de todas las funciones de $2 = \{0,1\} \rightarrow X_0 \cup X_1$ tal que $f(0) \in X_0$$f(1) \in X_1$. En lugar de tupla, el producto cartesiano aquí hay una correspondencia $f$ entre el conjunto de índices $2 = \{0,1\}$ y un elemento que $f(i) \in X_i$$i \in \{0,1\}$.

Ahora generalizar, desea que el producto cartesiano a ser el conjunto de la correspondencia entre el conjunto de índices $I$ y elementos en $\bigcup_{i \in I} X_i$ tal que $f(i) \in X_i$. Así, formalmente, el producto cartesiano $\prod_{i \in I} X_i = \{f : I \rightarrow \bigcup_{i \in I} X_i : f(i) \in X_i\}$. Como se puede ver, esto es una generalización del concepto de tupla.

Answer 2

Creo que esto ayudará a otros lectores que tengan esta misma pregunta (Mendelson, Introducción a la Topología):

Deje $X_1,X_2,\dots,X_n$ ser conjuntos. Hemos definido un punto de $$x=(x_1,\dots,x_n)\in \prod_{i=1}^n X_i$$

como una secuencia ordenada tal que $x_i\in X_i$. Dado un punto, mediante el establecimiento $x(i)=x_i$ obtenemos una función de $x$ que asocia a cada número entero $i$,$1\leq i \leq n$, el elemento $x(i)\in X_i$. A la inversa, dada una función de $x$ que asocia a cada número entero $i$,$1\leq i \leq n$, un elemento $x(i)\in X_i$ obtenemos el punto

$$(x(1),\dots,x(n))\in \prod_{i=1}^n X_i$$

Es fácil ver que esta correspondencia entre los puntos de $\displaystyle\prod_{i=1}^n X_i$ y las funciones de los del tipo anterior es uno a uno y sobre, de modo que un punto de $\displaystyle\prod_{i=1}^n X_i$ también puede ser definido como una función de $x$ que asocia a cada número entero $i$,$1\leq i \leq n$, un punto de $x(i)\in X_i$. La ventaja de este segundo método es que nos permite definir el producto de cualquier familia de conjuntos.

DEFINICIÓN Deje $\{X_\alpha\}_{\alpha \in I}$ ser una familia indizada de conjuntos. El producto de los conjuntos de $\{X_\alpha\}_{\alpha \in I}$, escrito $\prod_{x\in I}X_\alpha$ se compone de todas las funciones $x$ con dominio el conjunto de indexación $I$ tiene la propiedad de que para cada $\alpha \in I$, $x(\alpha)\in X_\alpha$.

Dado un punto de $x\in \prod_{x\in I}X_\alpha$, uno puede referirse a $x(\alpha)$ $\alpha$- ésima coordenada de $x$. Sin embargo, a menos que la indexación se ha ordenado de alguna manera (como es el caso finito productos en nuestra discusión anterior), no hay primera coordenada, la segunda coordenada, y así sucesivamente.