¿Por qué las autocovarianzas pueden caracterizar completamente una serie temporal?

Question

Leí en el libro de John Cochrane Series temporales para macroeconomía y finanzas eso:

La autocovarianza puede caracterizar completamente las series temporales [distribución conjunta].

No comprendo del todo la relación entre covarianza y distribución conjunta en este caso. ¿Puede alguien explicarlo?

Answer 1

Un proceso gaussiano estacionario se caracteriza completamente por la combinación de su media, varianza y función de autocorrelación. La afirmación tal y como la has leído no es cierta. Necesita las siguientes condiciones adicionales:

1. El proceso es estacionario
2. el proceso es gaussiano
3. la media $$ se especifica

Entonces todo el proceso estocástico está completamente caracterizado por su función de autocovarianza (o equivalentemente su varianza $^2$ + función de autocorrelación).

Esto se basa simplemente en el hecho de que cualquier distribución gaussiana multivariante está determinada de forma única por su vector de media y su función de covarianza. Así que, dadas todas las condiciones que he expuesto anteriormente, la distribución conjunta de cualquier $k$ Las observaciones de la serie temporal tienen una distribución normal multivariante con un vector de media que tiene cada componente igual a $$ (by stationarity) each component has variance $ ^2$ (de nuevo por estacionariedad) y los componentes de la covarianza vienen dados por las correspondientes covarianzas retardadas en la función de autocovarianza (de nuevo entra en juego la estacionariedad porque la autocovarianza sólo depende de la diferencia temporal (o retardo) entre las dos observaciones cuya covarianza se está tomando.