Sea $H$ un grupo. ¿Podemos encontrar un automorfismo $\phi :H\rightarrow H$ que no sea un automorfismo interno, de manera que dada cualquier inclusión de grupos $i:H\rightarrow G$ exista un automorfismo $\Phi: G\rightarrow G$ que extienda a $\phi$, es decir, $\Phi\circ i=i\circ \phi$?
Respuestas
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La respuesta es que los automorfismos internos de hecho se caracterizan por la propiedad de la existencia de extensiones a grupos más grandes que contienen al grupo original. Aprendí tanto de esta entrada de blog (en ruso). La referencia es Schupp, Paul E., Una caracterización de automorfismos internos, Proc. Am. Math. Soc. 101, 226-228 (1987). ZBL0627.20018.
Vipul Naik
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Estuve luchando con la misma pregunta durante bastante tiempo y la resolví para grupos finitos, solo para luego descubrir que ya había sido resuelta. Schupp la resolvió para la clase de todos los grupos. Martin Pettet luego la resolvió para la clase de grupos finitos, y su demostración funciona para las clases de grupos $p$, grupos finitos $p$, grupos finitos $\pi$, grupos resolubles, etc.
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Pettet, Martin R., Sobre los automorfismos internos de grupos finitos, Proc. Am. Math. Soc. 106, No. 1, 87-90 (1989). ZBL0675.20015.
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Pettet, Martin R., Caracterizando los automorfismos internos de grupos, Arch. Math. 55, No. 5, 422-428 (1990). ZBL0683.20025.
Estas demostraciones también muestran que afirmaciones análogas son verdaderas si reemplazamos las incrustaciones inyectivas con mapas cociente (es decir, los único automorfismos que pueden ser retrotraídos sobre todos los mapas cociente son los internos).
También tengo algunas notas sobre este y problemas similares aquí: problema de los automorfismos extensibles.
