¿Invariante bajo transformación $i\mapsto -i$ implica real?

Question

Cuando uno tiene una expresión en términos de $i$, uno puede enviar $i$ $-i$ y, si la expresión permanece inalterada, se puede concluir que la expresión es, en realidad, real. Estados análogos mantenga por expresiones que involucran a radicales. ¿Por qué es esto? Un ejemplo trivial es cierto que es la expresión $$\frac{1}{x-i}+\frac{1}{x+i} .$ $

Answer 1

Este es un hecho básico en la teoría de Galois, es decir, que para las extensiones de Galois $F/K$ el campo fijo del grupo de Galois $G = \text{Gal}(F/K)$ es, precisamente,$K$. La extensión cuadrática $\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$ es un ejemplo de una extensión, como es la extensión cuadrática $\mathbb{C}/\mathbb{R}$. (Para aplicar esto a su ejemplo se puede hacer un par de cosas: uno se refiere a la expresión como una potencia de la serie y se aplica lo anterior a cada término, o uno que respecta a la expresión como una familia de elementos de $\mathbb{C}$ y se aplica la anterior por separado a cada uno de ellos.)

Es interesante ver cómo esta falla cuando la extensión no es Galois. Un ejemplo sencillo es la extensión de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$. Esta extensión no tiene no trivial de automorfismos porque las otras dos raíces de $x^3 - 2$ son complejos, por lo que el campo fijo de el "grupo de Galois" es todo de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$. Para obtener una declaración análoga a la de arriba uno tiene que pasar a la división de campo de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)$, que es de Galois.

Answer 2

Si $x+iy = x-iy$ y $y=0$ (caracteres adicionales).