Dejemos que $k$ sea el campo de tierra.
Los diferenciales de Kahler $\Omega_{K/k}$ son los $K$ espacio vectorial generado por símbolos formales $dg$ con sujeción a $d(f+g)=df+dg$ , $d(fg) = f dg + g df$ y $da=0$ para $a \in k$ . Esto es una dimensión $K$ espacio vectorial.
Dejemos que $\omega$ sea un diferencial. Para cualquier valoración $v$ en $K$ , dejemos que $t$ sea tal que $v(t)=1$ . Decimos que $\omega$ es regular en v si $v(\omega/dt) \geq 0$ . Decimos que $\omega$ es regular si es regular en cada valoración de $K/k$ . Entonces el espacio de diferenciales regulares es un $k$ espacio vectorial de dimensión $g$ .
OTRAS REFLEXIONES
Tanto la respuesta de Ben como la mía utilizaron el conjunto de valoraciones de $K/k$ . Esto significa esencialmente que utilizamos el campo de tierra $k$ . Una valoración de $K/k$ se define como una valoración de $K$ que es trivial en $k$ ; a la inversa, el campo de tierra se puede recuperar a partir de las valoraciones que lo respetan mediante la fórmula $k = \bigcap_{v} v^{-1}(\mathbb{R}_{\geq 0})$ .
He aquí un ejemplo de precaución para mostrar que no puede haber ninguna solución que sólo utilice las propiedades del campo $K$ sin hacer referencia a $k$ . Dejemos que $C$ y $D$ sean dos curvas irreducibles de distinto género. Sea $K$ sea el campo de las funciones meromórficas sobre $C \times D$ , dejemos que $k$ y $\ell$ sean los campos de funciones sobre $C$ y $D$ . Entonces $K$ es una extensión de grado 1 de trascendencia de ambos $k$ y $\ell$ pero tiene géneros diferentes cuando se considera de estas dos maneras.
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