Elementos principales en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

Question

¿Cuáles son los elementos principales en el ring $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$?

Tenga en cuenta que dado que el anillo es un PID (y por lo tanto un UFD) entonces primer = irreductible. Más aún, es la Euclídea con respecto al valor absoluto de la norma: $N(a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2$, por lo que tiene una buena estructura.

Sé que si $N(\alpha)=p$ $p$ primer entero, a continuación, $\alpha$ es un primer elemento. No es muy explícita la descripción, pero lo haría.

Sin embargo, creo que hay otros primos no incluidos en el anterior caso. ¿Qué acerca del primer enteros, están siendo prime en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$? Yo estoy esperando una clasificación similar a la de los números primos en $\mathbb{Z}[i]$...

Edit: Como Alex Youcis señala, es probablemente útil tener en cuenta que todas las unidades de este anillo se caracteriza por $\pm(1-\sqrt{2})^n$, por lo que la búsqueda de los elementos principales se deben a estos.

Answer 1

En caso de que alguien sigue interesado en una escuela primaria de la solución: procediendo de forma análoga al caso de $\mathbb{Z}[i]$ (en Neukirch el libro sobre la teoría algebraica de números) nos puede dar una lista que contiene todos los elementos principales de la $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Sin embargo, la solución está incompleta en la medida en que asocia elementos principales pueden aparecer más de una vez.

El correspondiente teorema acerca de la representatividad de enteros primos como la norma de elementos en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es la siguiente.

Lema: Para un primer número $p>2$, la ecuación de diophantine \begin{equation*} p = a^2 - 2b^2 \end{ecuación*} tiene solución en los números enteros $a$ $b$ si y sólo si $p \equiv 1$ o $7 \bmod 8$.

Tenga en cuenta que $2 = 2^2-2*1^1$ es representable así.

Prueba: Esto es análogo a Neukirch la prueba de que un primer $p>2$ es representable como una suma de dos cuadrados si y sólo si $p \equiv 1 \bmod 4$. Vamos a reemplazar Wilson del teorema (Teorema de 80) por el Teorema de 95 en Hardy y Wrights libro clásico. Se dice que la congruencia $x^2 \equiv 2 \bmod p$ tiene una solución si $p \equiv 1, 7 \bmod 8$ (dos es una ecuación cuadrática de residuos de mod $p$).
Tenga en cuenta que las plazas son $\equiv 0,1,4 \bmod 8$, por lo que sólo los números impares $\equiv 1,7 \bmod 8$ puede ser representado por $a^2-2b^2$.
Por el contrario, por el teorema de 95, no es un número entero $x$ tal que $p\vert x^2-2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$, lo $p$ ya no es el primer en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, ya que el $p$ divide ninguno de los factores en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Por lo tanto $p$ puede ser escrito como el producto de $\alpha \beta$ de dos unidades, de tal manera que para la norma $N(p) = p^2 = N(\alpha) N(\beta)$ mantiene. Desde $\alpha$ $\beta$ no son unidades, $N(\alpha) = N(\beta) = p$ (hasta un posible signo menos de la que nos puede deshacerse de una elección correcta de asociar elementos). Si escribimos por ejemplo,$\alpha = a+bi$, hemos encontrado los enteros $a$$b$$N(\alpha) = a^2 - 2b^2 = p$.

Ahora los elementos principales de la $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ (a, y, posiblemente, incluso) los asociados son

1. $\sqrt{2}$,
2. $\alpha \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ tal que $N(\alpha) = p$ es un primer $p \equiv 1, 7 \bmod 8$,
3. y enteros primos $p \equiv 3,5 \bmod 8$.

Ahora, uno puede utilizar la prueba como de los elementos principales en $\mathbb{Z}[i]$ casi palabra por palabra por primera muestra de que todos estos elementos son, de hecho, elementos principales y, a continuación, mostrando que cualquier otro primer elemento debe estar asociado a un elemento de la lista. (Los elementos de la primer norma son los principales porque ellos no pueden ser factorizados en la no-unidades (y el uso que trabajamos en un UFD aquí), y de los elementos (3) con la plaza de la primer norma son los principales porque ellos no son representables) (primer elemento de la norma en $\mathbb{Z}$ que factorizes no de forma exclusiva. Entonces uno puede decir de nuevo que el primer elemento debe tener la norma $\pm 1$, $\pm p$ o $\pm p^2$ $p$ siendo uno de los primos de la división de la norma en $\mathbb{Z}$. $\pm 1$ no puede ser, $\pm p$ y estamos en el caso (1) o (2), y $\pm p^2$ da el caso (3) ).

Answer 2

Esta es una vista parcial (unsatisfyingly parcial) respuesta:

Hay un bonito teorema en la teoría algebraica de números:

Teorema(Dedekind): Vamos a $\mathcal{O}_K$ ser un número anillo tal que exista $\alpha\in\mathcal{O}_K$$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\alpha]$. Deje $f(T)$ ser el polinomio mínimo de a$\alpha$$\mathbb{Q}$. A continuación, para cada prime $p\in\mathbb{Z}$ deje $\overline{g_1(T)}^{e_1}\cdots \overline{g_m(T)}^{e_m}=\overline{f(T)}$ ser la factorización prima de $\overline{f(T)}\in\mathbb{F}_p[T]$ (donde $g_i(T)\in\mathbb{Z}[T]$). Entonces, el primer ideales de $\mathcal{O}_K$ se encuentra por encima del $p$ son los de la forma$(p,g_i(\alpha))$$i=1,\ldots,m$.

Por lo tanto, ahora tenemos el caso cuando $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, $\alpha=\sqrt{2}$, y $f(T)=T^2-2$. Por lo tanto, el encontrar el primer ideal de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ está por encima $p$ sólo necesitamos factor de $T^2-2$$\mathbb{F}_p[T]$. Ahora, por la reciprocidad cuadrática sabemos que $2$ tiene una raíz cuadrada en $\mathbb{F}_p$ si y sólo si $p\equiv 1,7\mod 8$.

Si $p\equiv 3,5\mod 8$ $T^2-2$ es irreducible en a $\mathbb{F}_p[T]$ y por lo tanto el primer ideal que yace por debajo de $p$$(p,(\sqrt{2})^2-2)=(p)$.

Si $p\equiv 1,7\mod 8$, entonces sabemos que $T^2-2$ factores $\mathbb{F}_p[T]$ $(T-\beta)(T+\overline{\beta})$ donde $\beta$ algunos (levante a $\mathbb{Z}$ de a) la raíz cuadrada de $2$$\mathbb{F}_p$. Por lo tanto, Dedekind del teorema nos dice que el primer ideales de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ está por encima $p$$(p,\sqrt{2}\pm\beta)$. Ahora, de manera abstracta sabemos entonces que $(p,\sqrt{2}\pm\beta)=\text{gcd}(p,\sqrt{2}\pm\beta)$, y que esta dpc puede ser computada (en teoría) utilizando el algoritmo de Euclides.

Por lo tanto, hasta unidades de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ (que son todos de la forma $\pm(1-\sqrt{2})^n$, $n\in\mathbb{Z}$) los elementos principales de la $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$$p$$p\equiv 3,5\mod 8$, e $\text{gcd}(p,\sqrt{2}\pm\beta)$ donde $\beta$ es un ascensor de una raíz cuadrada de $2$$\mathbb{F}_p$.