Por qué externa de la medida?

Question

En la construcción de la medida de Lebesgue comenzaremos por definir el exterior de la medida de un conjunto en términos de revestimientos en el conjunto contables de la colección de cubos.

Supongamos que en lugar de empezar por la aproximación se establece desde el interior. Decir, por la definición de "dentro a medida" de un conjunto como el supremum de que el volumen total de cualquier contables de la colección de cubos disjuntos contenida en el conjunto.

Puedo ver que íbamos a tener problemas. Por ejemplo, en $[0,1]$ el conjunto de los racionales y el conjunto de irrationals dos hubieran "dentro de la medida" $0$, mientras que el intervalo como un todo habría "dentro de la medida" $1$.

Lo que me gustaría es tener una comprensión intuitiva de por qué nos encontramos con estos problemas cuando la aproximación desde el interior mientras que la aproximación desde fuera nos da una medida de la teoría de que funciona.

La razón por la que estoy pidiendo es que para juegos sencillos, por ejemplo. a la hora de calcular el área de un círculo, la aproximación desde el exterior y la aproximación desde el interior funciona igual de bien.

Answer 1

Si usted aproximado de fuera de obtener una capa exterior de medida que se subadditive: $\mu^\ast[A \cup B] \le \mu^\ast[A] + \mu^\ast[B]$. Esto permite pensar de la medida como una especie de "norma" de un conjunto, y, en particular, definir una métrica $\rho(A,B) := \mu^\ast[A \vartriangle B]$ donde $\vartriangle$ es la diferencia simétrica. La finalización y la extensión por continuidad con esta métrica se da la teoría de la medida (con esto quiero decir que, en primer lugar, la medida de álgebra es sólo la conclusión de que el espacio de la "simple" establece por esta medida, y mensurables conjuntos son exactamente los que se puede aproximar por una "simple" uso de esta métrica).

Ahora si intenta aproximar desde el interior, se obtiene una desigualdad en la dirección equivocada: para $A$ $B$ discontinuo $\mu[A \cup B] \ge \mu[A] + \mu[B]$. Así que no hay métrica, no finalización, ..., ninguna teoría de la medida. En particular, esto no da ninguna manera sencilla de seleccionar qué conjuntos son medibles y asignarlos a los elementos de la medida de álgebra.