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Un Ejemplo de una Disminución de la Secuencia Anidada de Limitada Conjuntos Cerrados con Intersección Vacía

Podría alguien darme un ejemplo de un espacio métrico tener un anidada disminución de la secuencia de limitada conjuntos cerrados con intersección vacía? Pensé por primera vez en conjunto de Cantor, pero la intersección no es vacía!

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Terry Phan Puntos 36

Deje $\mathbb N$ ser dotado de la métrica discreta. En este espacio métrico, cada subconjunto es limitado (aunque no necesariamente totalmente acotado y cerrado. Por otra parte, los subconjuntos \begin{align*} A_1\equiv&\,\{1,2,3,4,\ldots\},\\ A_2\equiv&\,\{\phantom{1,\,}2,3,4,\ldots\},\\ A_3\equiv&\,\{\phantom{1,2,\,}3,4,\ldots\},\\ \vdots&\, \end{align*} están anidados, y su intersección es vacía.


Sin embargo, si permanece dentro de la esfera de la $\mathbb R$ dotado con la habitual métrica Euclidiana, lo que usted no puede tener una situación como la de arriba:

Reclamo: Supongamos que $$A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\ldots$$ is a countable family of non-empty, closed, bounded subsets of $\mathbb R$. Then, $\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\neq\varnothing$.

Prueba: Por la de Heine–Borel teorema, $A_n$ es compacto para cada una de las $n\in\mathbb N$. Por el bien de la contradicción, supongamos que $\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n=\varnothing$. Esto es equivalente a $\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^{\mathsf c}=\mathbb R$. En particular, $$A_1\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^{\mathsf c}.$$ Since $A_1$ is compact and the sets $(A_n^{\mathsf c})_{n=1}^{\infty}$ form an open cover of it, there must exist a finite subcover. That is, there exists some $m\in\mathbb N$ such that $$A_1\subseteq\bigcup_{n=1}^m A_n^{\mathsf c}=A_m^{\mathsf c},$$ where the second equality follows from the fact that $$A_1^{\mathsf c}\subseteq A_2^{\mathsf c}\subseteq A_3^{\mathsf c}\subseteq\ldots.$$ Now, $A_1\subseteq A_m^{\mathsf c}$ means that if a point is in $A_1$, then it must not be in $A_m$, so that $A_1\cap A_m=\varnothing$. But $A_m\subseteq A_1$ (given that the sets are nested), so that $A_1\cap A_m= A_m=\varnothing$, which contradicts the assumption that $A_m$ is not empty. This contradiction reveals that the intersection $\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n$ must not be empty. $\quad\blacksquare$

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Paul Sinclair Puntos 6547

Otro ejemplo sencillo es buscar en el "pinchado la línea": $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$, sólo los números reales con a $0$ eliminado. Los conjuntos de $A_n = \{ x \ \in \Bbb R \,|\, |x| \le 1/n \text{ and } x \ne 0 \}$ son cerrados y acotados en el perforado de la línea, pero su intersección es vacía.

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user21820 Puntos 11547

¿Conoce usted a un teorema sobre anidada delimitada conjuntos cerrados que no vacía intersección? Si lo hace, entonces usted necesita para encontrar un espacio métrico que no satisfacen las condiciones de ese teorema. $\mathbb{R}$ satisface ese teorema y por lo tanto no vas a encontrar un contra-ejemplo. Pero hay un pequeño espacio métrico sentado dentro de él, es decir,$\mathbb{Q}$, lo que le dará un contra-ejemplo.

3voto

Michael Hardy Puntos 128804

Al principio me pasó por alto el hecho de que delimitadas conjuntos se desea.

Deje que el espacio métrico ser $(0,1)$, el conjunto de todos los números reales entre el$0$$1$, sin incluir los extremos, con la métrica usual $d(x,y)=|x-y|$.

A continuación, el ejemplo puede ser que el $n$th es $(0,\ 1/n]$. Este es cerrado dentro de este espacio, que contienen todos los de su límite de puntos en el espacio.

La primera cosa que pensé fue $\displaystyle \bigcap_{n=0}^\infty [n,+\infty)$.

Si el objeto llamado $+\infty$ se incluyeron en el espacio, con la topología adecuada para que $n\to\infty$, a continuación, estos conjuntos no sería cerrada, pero iba a ser cerrada si se añade $+\infty$ a ellos como un nuevo miembro y, a continuación, la intersección no vacía porque $+\infty$ sería un miembro de la misma.

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freespace Puntos 9024

Si $(X,d)$ es un espacio métrico, a continuación, $$d'(x,y)=\min\{d(x,y),1\}$$ es una métrica en $d$, así. Por otra parte, las métricas $d$ $d'$ generan la misma topología (de ahí que el mismo subconjuntos de a $X$ están cerrados en $(X,d)$ y en $(X,d')$).

Cada subconjunto es limitado en $(X,d')$.

Ver también: la Prueba de que todo espacio métrico es homeomórficos a un acotado espacio métrico


Así que basta con encontrar un espacio métrico, el cual contiene anidada cerrado subconjuntos con intersección vacía. Entonces usted puede mirar en el mismo sistema de subconjuntos en la modificación de la métrica, y usted tendrá un ejemplo de cerrado delimitado conjuntos.

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