El promedio de porcentaje de aumento no es igual al total por ciento de aumento?

Question

He intentado buscar alrededor de esto, pero era difícil que se reducen los términos de búsqueda. Y nada más, parecía estar mostrando todos modos.

Lo que es una manera fácil de mostrar que el promedio de aumento en el porcentaje de n números no igual al total porcentaje de incremento del antes/después de sumarse n números? Sí, uno podría funcionar un ejemplo, pero aún así no tiene que aparentemente claros.

He elaborado un pequeño ejemplo para ilustrar mi intuición.

% Inicial Final
10 1 10.1
12 2.5 12.3
11 2 11.22

Inicial Suma = 33
Suma Final = 33.62

Promedio % = (% de Suma)/ # de %'s
 = (1+2.5+2)/3
 = 1.833

Total % 
Incremento = (Suma Final - Inicial De Suma) / (La Cantidad Inicial) * 100
 = (33.62 - 33)/33 * 100
 = 1.87879

Estos porcentajes son cercanos pero no iguales. Mi intuición me dice que esto es correcto, pero me gustaría desarrollar una prueba para demostrar que esto es realmente cierto.

Cualquier ayuda/orientación, sería muy apreciado.

-- Edit --1

Mi pregunta contiene una premisa incorrecta. Yo no debería estar usando el promedio de los porcentajes. Más bien, debería estar usando el promedio ponderado.

Uso de Excel y este ejemplo que yo era capaz de generar el total % de aumento en el uso de todos los porcentajes.

Una prueba aún sería útil en la comprensión del problema.

-- Edit --2

Dados los valores iniciales $a_k$ y porcentajes $p_k$, el promedio ponderado de los porcentajes serían: $$ \frac{\sum_{k=1}^{n} a_k *p_k}{\sum_{k=1}^{n}p_k} $$

Esperemos que la notación correcta. Como he dicho en la Edición 1, que fue retirado de Cómo calcular promedios ponderados en Excel.

Answer 1

Quizás la manera más fácil ver lo que está pasando es buscar en un caso extremo. Supongamos que se inicia con sólo dos valores iniciales, $10$$1000$, y el aumento de uno de ellos, por $10$%, dejando la otra intacta. El promedio de los dos aumentos de porcentaje es $\frac12(10+0)=5$% no importa cuál de los dos números es mayor. El porcentaje de incremento en el total, sin embargo, muy claramente depende de cuál de los dos era mayor: el aumento de la $10$ $10$ % aumenta el total por $1$,$1010$$1011$, pero el aumento de la $1000$ $10$ % aumenta el total por $100$,$1010$$1110$. Claramente éste es un porcentaje mucho mayor incremento que el anterior; las cifras reales son acerca de $0.099$% en el primer caso y sobre la $9.9$% en el segundo.

El punto es que al aumentar uno de los elementos en un determinado porcentaje, el efecto sobre el total depende no sólo en el porcentaje, pero también en el tamaño del elemento.

Edit: Y eso es exactamente por qué sus promedios ponderados de trabajo: el individuo porcentaje de aumento debe ser ponderado por el tamaño de los elementos originales. Deje que las cantidades originales que ser $a_1,\dots,a_n$, y dejar que el porcentaje de incrementos, expresados como fracciones, ser $p_1,\dots,p_n$. Las cantidades después de que el aumento se $a_k(1+p_k)=a_k+a_kp_k$$k=1,\dots,n$, por lo que el aumento total es $$a_1p_1+a_2p_2+\cdots+a_np_n\;.$$ Let $A=a_1+a_2+\cdots+a_n$ ser el original total; a continuación, el incremento fraccionario es

$$\frac{a_1p_1+a_2p_2+\cdots+a_np_n}A=\frac{a_1}Ap_1+\cdots+\frac{a_n}Ap_n\;,$$

que es, de hecho, la media ponderada de los porcentajes cuando están ponderados por el tamaño relativo de las cantidades originales.