Doble conectividad de $SO(3)$ grupo de colector de

Question

¿Hay algún significado físico de el hecho de que el grupo colector (espacio de parámetros) de $SO(3)$ es doblemente conectado?

EDIT 1: permítanme aclarar mi pregunta. Es demasiado vaga. Existe dos clases de equivalencia de las rutas en el grupo colector de SO(3) o, en otras palabras, $\Pi_1(SO(3))=Z_2$. Este espacio es, por tanto, doblemente conectado. Hay caminos que volver a la configuración inicial después de una rotación de $2\pi$ y otros después de una rotación de $4\pi$, con una adecuada parametrización de los ángulos.

El uso de este hecho, es posible demostrar que una topología de tal admite la existencia de la mitad del entero de vueltas y entero de vueltas? Entiendo spinors como objetos cuya wavefunctions recoger una que ve la señal después de una rotación de $2\pi$, y vuelve a sí mismo después de una rotación de $4\pi$. A la derecha? Pero a partir de la topológico argumento anterior, no es claro para mí, que ¿cómo llevar a dos tipos de wavefunctions, spinor de tipo $(j=\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2}...)$ y el tensor de tipo $j=0,1,2,...$? No es explícitamente claro cómo estos dos tipos de rutas en SO(3) grupo de colector conducirá a la transformación de las propiedades de "la wavefunctions"?

EDIT 2: http://en.wikipedia.org/wiki/SO%283%29#Topology.

Answer 1

Sólo en vista de la doble universal que cubre proporcionada por $SU(2)$, $SO(3)$ debe un cociente de $SU(2)$ con respecto a una central discretos normal subgrupo con dos elementos. Esta es la consecuencia de una propiedad general de universal que cubre Mentira grupos:

Si $\pi: \tilde{G} \to G$ es el universal que cubre Mentira-grupo homomorphism, el kernel $H$ $\pi$ es un discreto normal central subgrupo de el universal que cubre $\tilde{G}$$G= \tilde{G}/H$, e $H$ es isomorfo al grupo fundamental de la $G$, es decir, $\pi_1(G)$ (que, por Mentir a los grupos, es Abelian) .

Uno de los elementos de ese subgrupo debe ser $I$ (desde un grupo incluye el elemento neutro). El otro, $J$, debe verificar el $JJ=I$ e lo $J=J^{-1}= J^\dagger$. Por inspección directa uno ve que en $SU(2)$ sólo es posible para $J= -I$. Por lo $SO(3) = SU(2)/\{I,-I\}$.

Observe que $\{I,-I\} = \{e^{i4\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 }, e^{i2\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 }\}$ se queda en el centro de la $SU(2)$, es decir, los elementos de este subgrupo conmutan con todos los elementos de a $SU(2)$. Por otra parte $\{I,-I\}=: \mathbb Z_2$ es sólo el primer homotopy grupo de $SO(3)$ como debe de ser en vista de la declaración general que he citado anteriormente.

Un unitario de representaciones de $SO(3)$ es también una representación de $SU(2)$ a través de la proyección de la Mentira de grupo homomorphism $\pi: SU(2) \to SU(2)/\{I,-I\} = SO(3)$. Así, el estudio unitario de representantes de $SU(2)$ cubre toda la clase de los representantes unitarios de $SO(3)$. Vamos a estudiar los representantes.

Considere la posibilidad de una representación unitaria $U$ $SU(2)$ en el espacio de Hilbert $H$. La central de los subgrupos $\{I,-I\}$ debe ser representado por $U(I)= I_H$$U(-I)= J_H$, pero $J_HJ_H= I_H$, por lo que, como antes, $J_H= J_H^{-1}= J_H^\dagger$.

Como $J_H$ es unitaria y la auto-adjunto, simultáneamente, su espectro tiene que ser incluido en $\mathbb R \cap \{\lambda \in \mathbb C \:|\: |\lambda|=1\}$. Así que (a) es de $\pm 1$ en la mayoría de los y (b) el espectro es un puro punto de espectro y tan sólo adecuado eigenspeces surgir en su descomposición espectral.

Si $-1$ no está presente en el espectro, el único autovalor es $1$ e lo $U(-I)= I_H$. Si sólo el autovalor $-1$ está presente, en cambio, $U(-I)= -I_H$.

Si la representación es irreductible $\pm 1$ no pueden ser simultáneamente autovalores. De lo contrario, $H$ se dividiría en el ortogonal suma directa de subespacios propios $H_{+1}\oplus H_{-1}$. Como $U(-1)=J_H$ viajes con todos los $U(g)$ (debido a $-I$ está en el centro de la $SU(2)$ $U$ es una representación), $H_{+1}$ $H_{-1}$ sería invariante subespacios para todos los de la representación y está prohibido, como $U$ es irreducible.

Llegamos a la conclusión de que,

si $U$ es una irreductible unitaria representación de $SU(2)$, el discreto normal subgrupo $\{I,-I\}$ sólo puede ser representado por cualquiera de las $\{I_H\}$ o $\{I_H, -I_H\}$.

Además:

Desde $SO(3) = SU(2)/\{I,-I\}$, en el primer caso, $U$ es también una representación de $SO(3)$. Esto significa que $I = e^{i 4\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma} }$ $e^{i 2\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 } = -I$ son transformadas en $I_H$$U$.

En el segundo caso, en cambio, $U$ no es una verdadera representación de $SO(3)$, en vista de un signo que aparece después de $2\pi$, debido a $e^{i 2\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 } = -I$ es transformado en $-I_H$ y sólo el $I = e^{i 4\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 }$ es transformado en $I$$U$.