Deje $A$ $n\times n$ matriz con entradas complejas. Supongamos que $\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(A^{2})=\cdots \ =\operatorname{tr}(A^{n-1})=0 $, e $A^{n}\neq 0 $. A continuación, $A$ es diagonalisable.
Respuesta
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Tenemos $\mathrm{Tr}(A^n)\neq 0$, de lo contrario $\operatorname{Tr}(A^k)=0$ todos los $1\leq k\leq n$ $A$ sería nilpotent. Deje $p:=\operatorname{card}\operatorname{Sp}(A)$. Vamos a mostrar que el $p=n$. Vamos $\lambda_i$, $1\leq i\leq p$, los autovalores de $A$, $m_i\geq 1$ sus multiplicidades. Utilizando el hecho de que $\operatorname{Tr}(A^k)=0$ todos los $1\leq k\leq p$, tenemos $$\pmatrix{1&1&\cdots& 1&1\\\ \lambda_1&\lambda_2&\cdots&\lambda_{p-1}&\lambda_p\\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\\ \lambda_1^{p-1}&\lambda_2^{p-1}&\cdots&\lambda_{p-1}^{p-1}&\lambda_p^{p-1}}\pmatrix{m_1\lambda_1\\\ m_2\lambda_2\\\ \vdots \\\ m_p\lambda_p }=\pmatrix{0\\\ 0\\\ \vdots\\\ 0},$$ pero desde $\lambda_i\neq\lambda_j$ si $i\neq j$, el determinante de esta matriz es $\neq 0$, lo $m_j\lambda_j=0$ todos los $j$. Esto implica $p=1$$\lambda_1=0$. Pero tendríamos $\operatorname{Tr}(A^n)=0$. Por lo $p=n$ y tenemos $n$ distintos autovalores: $A$ es diagonalisable.
